Оценочная функция Тейла – Сена

В непараметрической статистике существует метод для робастного линейного сглаживания^[англ.] множества точек (простая линейная регрессия), в котором выбирается медиана наклонов всех прямых, проходящих через пары точек выборки на плоскости. Метод называется оценочной функцией Тейла — Сена, оценочной функцией Сена коэффициента наклона^[1][2], выбором наклона^[3][4], методом одной медианы^[5], методом Кендалла робастного приближения прямой ^[6][7] и робастной прямой Кендалла — Тейла^[8]. Метод назван именами Анри Тейла и Пранаба К. Сена, опубликовавшими статьи об этом методе в 1950 и 1968 соответственно, а также именем Мориса Кендалла.

Оценочная функция Тейла — Сена множества точек выборки (чёрная линия) по сравнению с неробастными методом наименьших квадратов для того же множества (синия линия). Зелёная пунктирная линия представляет истинные данные, из которых выборки были сгенерированы.

Эта оценочная функция может быть эффективно вычислена и она нечувствительна к выбросам. Она может быть существенно более точна, чем неробастный метод наименьших квадратов для несимметричных и гетероскедастичных данных и хорошо конкурирует с неробастным методом наименьших квадратов даже для нормально распределенных данных в терминах статистической мощности^[9]. Метод признан «наиболее популярной непараметрической техникой оценки линейного тренда»^[2].

Определение

Как определил Тейл^[10], оценочная функция Тейла — Сена множества точек на плоскости (x_i,y_i) — это медиана m коэффициентов наклона (y_j − y_i)/(x_j − x_i) по всем парам точек выборки. Сен^[11] расширил это определение для обработки случая, когда две точки имеют одинаковые координаты x. По определению Сена медиана коэффициентов наклона берётся только по парам точек, имеющих различные координаты x.

Когда наклон m вычислен, можно определить прямую из точек выборки путём выбора точки b пересечения оси y, равной медиане значений y_i − mx_i ^[12]. Как заметил Сен, это оценочная функция, которая делает τ-коэффициент ранговой корреляции Кендалла сравнения x_i с остатком i-го наблюдения приблизительно равным нулю^[13].

Доверительный интервал для оценки угла наклона может быть определён как интервал, содержащий средние 95 % значений коэффициентов наклона прямых, проходящих через пары точек^[14], и может быть быстро оценён семплированием пар и определением 95%-го интервала семплированных коэффициентов наклона. Согласно численному моделированию, выборка примерно 600 пар точек достаточна для определения точного доверительного интервала^[9].

Вариации

Вариантом оценочной функции Тейла — Сена по Сигелу^[15] определяет для каждой точки выборки (x_i,y_i) медиану m_i коэффициентов наклона (y_j − y_i)/(x_j − x_i) прямых, проходящих через эту точку, а затем вычисляется общая оценочная функция как медиана этих медиан.

Другой вариант выбирает пары точек выборки по рангу их x-координат (точке с наименьшей координатой выбирается в пару первая точка выше координаты медианы и т. д.), затем вычисляются коэффициенты наклона прямых, определяемых этими парами точек^[16].

Изучаются также варианты оценочной функции Тейла — Сена, базирующиеся на взвешенных медианах^[англ.], основанные на принципе, что пары выборок, x-координаты которых отличаются больше, более вероятно имеют более точный наклон, а потому должны иметь больший вес^[17]

Для сезонных данных может быть уместным сглаживать сезонные переменные в данных путём отбора пар точек выборки, которые принадлежат одному месяцу или тому же сезону года, а уж затем вычислять медиану коэффициентов наклона прямых, определённых этими ограниченными парами^[18].

Статистические свойства

Оценочная функция Тейла — Сена является несмещённой оценкой истинного наклона в простой линейной регрессии^[19][20]. Для многих распределений неслучайной ошибки эта оценочная функция имеет высокую асимптотическую эффективность^[англ.] относительно метода наименьших квадратов^[21][22]. Оценочные функции с низкой эффективностью требуют больше независимых наблюдений, чтобы достичь той же дисперсии, что и при эффективных несмещённых оценочных функциях.

Оценочная функция Тейла — Сена более робастна, чем оценочная функция метода наименьших квадратов, поскольку она существенно более устойчива к выбросам. Она имеет порог ${\displaystyle 1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 29.3\%}$, что означает, что она может допустить искажение до 29,3 % входных данных без уменьшения точности^[12]. Однако порог уменьшается для многомерных обобщений метода^[23]. Более высокий порог, 50 %, имеется у другого робастного алгоритма линейной оценки, повторной медианной оценочной функции Сигела^[12].

Оценочная функция Тейла — Сена является эквивариантной^[англ.] при любом линейном преобразовании её переменных отклика, что означает, что преобразование данных с последующим построением оценивающей прямой и построение прямой с последующим преобразованием данных приводит к одинаковым результатам^[24]. Однако оценочная функция не является эквивариантной при одновременном аффинном преобразовании как предикторных переменных, так и переменных отклика^[23].

Алгоритмы

Медиана коэффициента наклона множества n точек выборки может быть вычислена точно путём вычисления всех O(n²) прямых через пары точек и применения алгоритма линейного времени для выбора медианы. Альтернативно, значение может быть оценено путём выборки пар точек. Задача эквивалентна, согласно проективной двойственности, задаче нахождения точки пересечения конфигурации прямых, которой принадлежит медиана x координат среди всех таких точек пересечения.^[25]

Задача выбора коэффициента наклона точно, но эффективнее, чем грубый квадратичный перебор, интенсивно изучалась в вычислительной геометрии. Известны некоторые другие методы точного вычисления оценочной функции Тейла — Сена за время O(n log n) либо детерминированно^[3], либо с использованием вероятностных алгоритмов^[4]. Повторная медианная оценка Сигела может быть также построена эффективно за то же время^[26]. В моделях вычислений, в которых входные координаты являются целыми числами и битовые операции над целыми числами берут постоянное время, задача может быть решена даже быстрее, с математическим ожиданием времени вычисления ${\displaystyle O(n{\sqrt {\log n}})}$^[27].

Оценочная функция коэффициента наклона с примерным рангом медианы, имеющая тот же порог, что и оценочная функция Тейла — Сена, может быть получена в поточной модели данных (в которой точки выборки обрабатываются алгоритмом одна за другой, и алгоритм не имеет достаточной памяти для постоянного хранения всего множества данных), используя алгоритм, основанный на ε-сетях^{[англ.][28]}.

Приложения

Оценочная функция Тейла — Сена была использована в астрономии ввиду возможности работать с цензурированными моделями регрессии^[29]. Фернандес и Леблан предложили использовать её в биофизике^[30] дистанционного зондирования, такого как оценка листовой поверхности путём измерения отражения, ввиду «простоты вычисления, аналитической оценки доверительного интервала, робастности по отношению к выбросам, проверяемые допущения относительно погрешности и … ограниченной априори информации относительно ошибок измерения». Для измерения сезонных данных окружающей среды, таких как качество воды, был предложен сезонный вариант оценочной функции Тейла — Сена как более предпочтительный по сравнению с методом наименьших квадратов, поскольку он даёт более высокую точность в случае асимметричных данных^[18]. В информатике метод Тейла — Сена использовался для оценки тренда устаревания программного обеспечения^{[англ.][31]}. Другое применение теста Тейла — Сена наблюдается в метеорологии и климатологии^[32], где используется для оценки устойчивых тенденций направления и скорости ветров.

См. также

• Регрессионное разведение^[англ.], другая проблема, использующая оценивание тренда наклона