Доверительный интервал

Довери́тельный интерва́л — термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, более предпочтительной при небольшом объёме выборки, чем точечная. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Доверительным называется интервал, в который попадают измеренные в эксперименте значения, соответствующие доверительной вероятности^[1].

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера^{[ссылка 1]}.

Определение

Доверительным интервалом параметра ${\displaystyle \theta }$ распределения случайной величины ${\displaystyle X}$ с уровнем доверия ${\displaystyle p}$^{[примечание 1]}, порождённым выборкой ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$, называется интервал с границами ${\displaystyle l(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ и ${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, которые являются реализациями случайных величин ${\displaystyle L(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ и ${\displaystyle U(X_{1},\ldots ,X_{n})}$, таких, что

${\displaystyle \mathbb {P} \{\,L\leqslant \theta \leqslant U\,\}=p}$.

Граничные точки доверительного интервала ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle u}$ называются доверительными пределами^[2].

Вероятность, с которой в условиях данного эксперимента полученные экспериментальные данные можно считать надежными (достоверными), называют доверительной вероятностью или надежностью. Величина доверительной вероятности определяется характером производимых измерений. При выполнении учебных лабораторных работ в курсе общей физики доверительная вероятность обычно считается равной 95 %.

Толкование доверительного интервала, основанное на интуиции, будет следующим: если уровень доверия ${\displaystyle p}$ велик (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение ${\displaystyle \theta }$^{[ссылка 2]}.

Еще одно истолкование понятия доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра ${\displaystyle \theta }$, совместимых с опытными данными и не противоречащих им.

Более точное, хоть также не совсем строгое, толкование доверительного интервала с уровнем доверия, скажем, 95 %, состоит в следующем. Если провести очень большое количество независимых экспериментов с аналогичным построением доверительного интервала, то в 95 % экспериментов доверительный интервал будет содержать оцениваемый параметр ${\displaystyle \theta }$ (то есть будет выполняться ${\displaystyle L\leqslant \theta \leqslant U}$), а в оставшихся 5 % экспериментов доверительный интервал не будет содержать ${\displaystyle \theta }$.

Примеры

• Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки.
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.

Байесовский доверительный интервал

В байесовской статистике существует схожее, но отличающееся в некоторых ключевых деталях определение доверительного интервала^[англ.]. Здесь оцениваемый параметр ${\displaystyle \theta }$ сам считается случайной величиной с некоторым заданным априорным распределением (в простейшем случае — равномерным), а выборка ${\displaystyle X}$ фиксирована (в классической статистике всё в точности наоборот). Байесовский ${\displaystyle p}$-доверительный интервал — это интервал ${\displaystyle [L,U]}$, покрывающий значение параметра ${\displaystyle \theta }$ с апостериорной вероятностью ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle \mathbb {P} \{\,L\leqslant \theta \leqslant U\mid X\,\}=p}$.

Как правило, классический и байесовский доверительные интервалы различаются. В англоязычной литературе байесовский доверительный интервал принято называть термином credible interval, а классический — confidence interval.

См. также

• Толерантный интервал