Параметр распределения

Пара́метр распределе́ния не цилиндрической линейчатой поверхности — предел отношения кратчайшего расстояния между бесконечно близкими образующими к углу между ними^[1].

Параметр распределения обращается в нуль для всех развертывающихся поверхностей, кроме цилиндрических^[1].

Вывод формулы

Кратчайшее расстояние между двумя прямыми в пространстве ${\displaystyle l}$ определяется с использованием смешанного и векторного произведений по формуле

${\displaystyle l={\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})}{\left|[\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2}]\right|}}}$^[2],

где ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ — радиус-векторы начальных точек этих прямых, а и — их направляющие векторы^[1].

Применяя эту формулу к двум бесконечно близким образующим не цилиндрической линейчатой поверхности, получим следующее выражение главной части этого расстояния^[1]:

${\displaystyle \Delta l\approx {\frac {(\mathbf {m} ,d\mathbf {m} ,d\mathbf {r} )}{\left|[\mathbf {m} ,d\mathbf {m} ]\right|}},}$

но

${\displaystyle [\mathbf {m} ,d\mathbf {m} ]^{2}=d\mathbf {m} ^{2}\approx \Delta \varphi ^{2},}$

то есть квадрату элемента угла между двумя бесконечно близкими образующими, и в результате получаем параметр распределения

${\displaystyle p=\lim _{\Delta \varphi \to 0}{\frac {\Delta l}{\Delta \varphi }}={\frac {(\mathbf {m} ,d\mathbf {m} ,d\mathbf {r} )}{d\mathbf {m} ^{2}}}.}$