Переменные Мандельштама

Переменные Мандельштама — три скалярные релятивистские инвариантные величины, сохраняющиеся в процессе рассеяния двух элементарных частиц с образованием двух новых или сохранением двух старых элементарных частиц или в процессе распада одной элементарной частицы на три. Обычно обозначаются как ${\displaystyle s,t,u}$. Были введены американским физиком Стэнли Мандельштамом (1928—2016) в 1958 году^[1]. Процесс рассеяния можно полностью описать, задав значения только двух переменных Мандельштама. Каждая из них равна квадрату полной энергии некоторой пары частиц в той системе координат, в которой их центр покоится.^[2]

Определение

Рассмотрим процесс рассеяния двух элементарных частиц с векторами энергии-импульса ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ и образования после взаимодействия двух новых или сохранения двух старых элементарных частиц с векторами энергии-импульса ${\displaystyle p_{3},p_{4}}$. Соотношения между энергией и массой имеют вид:

${\displaystyle p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2}.}$

В пространстве-времени с метрикой ${\displaystyle \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)}$ они приобретают вид

${\displaystyle m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}c^{2},}$

или в релятивистских единицах ${\displaystyle (c=1)}$

${\displaystyle m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}.}$

Здесь ${\displaystyle i=1,2,3,4}$ — индекс элементарной частицы. Сохранение каждой компоненты вектора энергии-импульса выражается уравнением:

${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}.}$

Из этого уравнения можно получить три переменных Мандельштама в релятивистских единицах ${\displaystyle (c=1)}$:

• ${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}}$
• ${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}}$
• ${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}}$

Свойства

Переменные Мандельштама связаны соотношением:

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.}$

Вывод

Для вывода используем два соотношения:

• Квадраты четырёхимпульсов равны квадратам масс:

${\displaystyle p_{i}^{2}=m_{i}^{2}}$

• Сохранение четырёхимпульса:

${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}}$

${\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}}$

Таким образом:

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}}$

${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}}$

${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}}$

Суммируя и подставляя квадраты масс, получаем:

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}}$

Замечаем, что последние четыре слагаемых обращаются в нуль в силу сохранения четырёхимпульса:

${\displaystyle 2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0}$

Таким образом:

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}}$