Скаляр

Скаля́р (от лат. scalaris — ступенчатый) — величина, полностью определяемая в любой координатной системе одним числом или одной функцией, которые не изменяются при изменении пространственной системы координат. В математике под «числами» могут подразумеваться элементы произвольного поля, тогда как в физике имеются в виду действительные или комплексные числа. О функции, принимающей скалярные значения, говорят как о скалярной функции.

Скаляр всегда описывается одним числом, а вектор может описываться двумя или более числами.

При смене системы координат скаляр остаётся неизменным (инвариантным), в отличие, например, от компонентов вектора, которые могут быть разными у одного и того же вектора в разных базисах.

В общей и линейной алгебре скаляр — элемент основного поля. При этом, любой элемент линейного пространства может быть умножен на скаляр и результатом будет другой, коллинеарный элемент линейного пространства.

В тензорном исчислении скалярами являются тензоры валентности (0,0).

Развитие понятия в физике

Примерами скаляров являются длина, площадь, время, масса, плотность, температура, поток и т. п.^[1]

Важно заметить, что понятие скаляра довольно сильно связано с контекстом. Так, в общепринятом контексте современной физики часть приведённых величин скалярными не являются.^[1]

В современной физике, подразумевающей пространственно-временной подход, под скаляром обычно имеется в виду скалярное поле, то есть пространственно-временной скаляр, лоренц-инвариантная величина, не меняющаяся при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (а в общей теории относительности и других метрических теориях гравитации — скаляр остаётся неизменным также и при переходе к неинерциальным системам отсчёта). В этом отличие от ньютоновской физики, где под скаляром понимается обычный скаляр обычного трёхмерного пространства (так, энергия в ньютоновском смысле — скаляр, а в пространственно-временном — лишь компонента четырёхмерного вектора).

Ошибочные примеры скаляров и нескалярные величины

Типичным примером величины, выражающейся одним числом, но не являющейся скаляром, является одна из координат вектора в каком-то произвольно выбранном базисе (при почти любом изменении базиса координата не останется неизменной, она, таким образом, не инвариант)^[2].

То же касается координаты тензора любой другой валентности (кроме нулевой).

Можно проиллюстрировать неинвариантность нескалярной величины на угловых координатах, ограниченных диапазоном в один оборот. В случае, если отсчёт ведётся от 0 до 2π (предел 2π не включается в диапазон и соответствует 0), угловое расстояние между 1,7π и 0,2π по модулю составит 1,5π, а если аналогичный отсчёт ведётся от –π до π (здесь предел π также не включается в диапазон), то угловое положение 1,7π предыдущего примера будет соответствовать –0,3π, и угловое расстояние между 0,2π и –0,3π по модулю составит 0,5π с отличием в половину диапазона. Так же учитывается возможная смена координат и в задачах с повторяющимися диапазонами, которые кратны обороту (или периоду) или используют часть оборота (половина оборота достаточна для определения углового положения симметричных тел и явлений).

Ещё одним примером величины, не являющейся, строго говоря, скаляром, является псевдоскаляр (хотя на практике иногда, исходя из соображений удобства или краткости, разграничения между скалярами и псевдоскалярами могут и не проводить, если это не существенно для изложения).