Перъединичная матрица

Перъединичная матрица (обменная матрица) — квадратная матрица, все элементы побочной диагонали которой равны 1, а остальные — 0 (то есть антидиагональная единичная^[1]):

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$; ${\displaystyle J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$; ${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}}$.

С помощью символа Кронекера можно записать определение элементов перъединичной матрицы как ${\displaystyle J_{ij}=\delta _{n+1-i,j}}$.

Является матрицей перестановки: она переставляет все строки матрицы в обратном порядке, если умножается слева на эту матрицу, и переставляет в обратном порядке столбцы, если умножается справа.

Некоторые свойства:

• ${\displaystyle J^{\intercal }=J}$;
• ${\displaystyle J^{n}=I}$ для чётных ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle J^{n}=J}$ для нечётных ${\displaystyle n}$, то есть инволютивна — ${\displaystyle J^{-1}=J}$;
• ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;J=1}$ для нечётных ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;J=0}$ для чётных ${\displaystyle n}$;
• ${\displaystyle (JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j}}$ и ${\displaystyle (AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j}}$ для произвольной ${\displaystyle (n\times n)}$-матрицы ${\displaystyle A}$;
• ${\displaystyle \det J=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}$.

Понятие перъединичной матрицы может использоваться для определения матриц, обладающих определёнными симметриями, например, квадратная матрица ${\displaystyle A}$ является:

• центросимметричной, если ${\displaystyle AJ=JA}$;
• персимметричной, если ${\displaystyle AJ=JA^{\intercal }}$;
• бисимметричной, если одновременно ${\displaystyle AJ=JA^{\intercal }}$ и ${\displaystyle AJ=JA}$.