Инволютивная матрица

Инволютивная матрица — матрица, обратная самой себе, то есть, матрица ${\displaystyle A}$, для которой выполнено ${\displaystyle A^{2}=E}$.

Свойства

• Все инволютивные матрицы являются квадратными корнями из единичной матрицы.
• ${\displaystyle n\times n}$-матрица ${\displaystyle A}$ инволютивна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(A+E)}$ — идемпотентная матрица.
• Инволютивная симметричная матрица является ортогональной матрицей, она представляет изометрию соответствующего линейного пространства.
• Блочно-диагональная матрица, состоящая из инволютивных матриц, также является инволютивной.
• Матрица, транспонированная к инволютивной, также инволютивна.
• Если матрица обладает любыми двумя из свойств: симметричность, ортогональность, инволютивность, то она обладает и третьим^[1].

Примеры

Матрица отражения является примером инволютивной матрицы.

Единичная матрица инволютивна.

Другие примеры инволютивных матриц:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$ (матрица, меняющая строку местами)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$ (матрица знака).

Также, например, инволютивны все 2×2-матрицы вида:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\{\frac {(1-a^{2})}{b}}&-a\end{pmatrix}}}$.

См. также

• Инволюция
• Идемпотентность