Поверхности постоянной средней кривизны

Поверхности постоянной средней кривизны — класс поверхностей моделирующий поверхности мыльных плёнок разделяющие области с фиксированной разницей давлений. В частном случае, если давление с обеих сторон равно, модель определяет минимальные поверхности.

Нодоид, поверхность с постоянной средней кривизной

Ундулоид, поверхность с постоянной средней кривизной

Определяются как гладкие поверхности с постоянной средней кривизной.

История исследования

• В 1841 году Шарль-Эжен Делоне доказал, что единственными поверхностями вращения с постоянной средней кривизной были поверхности, полученные вращением кривых получаемых качением коник. Таковыми являются плоскость, цилиндр, сфера, катеноид, ундулоид и нодоид.^[1]

• В 1853 году Дж. Джелле показал, что если ${\displaystyle S}$ компактная звёздчатая поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с постоянной средней кривизной, то это стандартная сфера.^[2] Впоследствии Александр Данилович Александров доказал, что компактная вложенная поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с постоянной средней кривизной ${\displaystyle H\neq 0}$ должна быть сфера.^[3]
  • На основании этого Хайнц Хопф в 1956 году предположил, что любая погружённая компактная ориентируемая гиперповерхность постоянной средней кривизны в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ должна быть круглой сферой.
  • Это предположение было опровергнуто в 1982 году Ву-И Сяном с использованием контрпримера в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.
  • В 1984 году Генри К. Венте построил так называемый тор Венте — погружение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ тора постоянной средней кривизны.^[4]

• Существуют методы построения множества примеров.^[5] В частности, методы склеивания позволяют произвольно комбинировать поверхности постоянной средней кривизны.^[6][7][8]

• Микс показал, что не существует вложенных поверхностей постоянной средней кривизны с одним концом в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .^[9] Кореваар, Куснер и Соломон доказали, что концы полной вложенной поверхности асимптотические ундулоиды.^[10]

Приложения

Помимо мыльных плёнок, поверхности постоянной средней кривизны появляются как границы раздела газ-жидкость на супергидрофобной поверхности.^[11]

В архитектуре поверхности постоянной средней кривизны используются в конструкциях с воздушной опорой, таких, как надувные купола и ограждения, а также в качестве источника плавных органических форм.^[12]