Поверхность Безье

Поверхность Безье — параметрическая поверхность, используемая в компьютерной графике, автоматизированном проектировании, и моделировании. Это одно из распространённых пространственных обобщений кривой Безье.

В компьютерной графике построение поверхности Безье на трёхмерных объектах позволяет сгладить неровности фигуры.

При кусочном моделировании (patch modeling) для задания и изменения формы куска, представляющего собой пространственную решетку из сплайнов или многоугольников, применяется сеть контрольных точек. Эти точки управления, также известные как контрольные вершины (control vertices — CV) оказывают на гибкую поверхность куска подобное магнитному влияние, при котором поверхность растягивается в том или ином направлении. Кроме того, куски можно и дальше подразделять на элементы для достижения большего разрешения и «сшивать» друг с другом, тем самым создавая сложные объёмные поверхности. Так же, как и сплайновые, кусочные модели используются при создании органических форм.

Уравнение поверхности

Поверхность Безье

Поверхность Безье порядка ${\displaystyle (n,m)}$ задаётся ${\displaystyle (n+1)\cdot (m+1)}$ контрольными точками ${\displaystyle \mathbf {P} _{i,j}}$. Точки поверхности рассчитываются следующей параметризацией:

${\displaystyle \mathbf {p} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\;B_{j}^{m}(v)\;\mathbf {P} _{i,j}}$,

где ${\displaystyle u,v\in (0,1)}$, а ${\displaystyle B}$ — многочлены Бернштейна:

${\displaystyle B_{i}^{n}(u)={n \choose i}\;u^{i}(1-u)^{n-i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}\;u^{i}(1-u)^{n-i}}$

Наиболее часто используются бикубические поверхности Безье ${\displaystyle (n=m=3)}$, задающиеся шестнадцатью контрольными точками.

Литература

• Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
• BEZIER_SURFACE. Routines for Bezier Surface Information Архивная копия от 28 сентября 2010 на Wayback Machine  (англ.) — Библиотека функций Matlab и Fortran, позволяющая исследовать свойства Безье-поверхностей. Распространяется в соответствии с лицензией LGPL.

См. также

• Кривая Безье
• NURBS
• B-сплайн
• Поверхность