B-сплайн

B-сплайн — сплайн-функция, имеющая наименьший носитель для заданной степени, порядка гладкости и разбиения области определения. Фундаментальная теорема устанавливает, что любая сплайн-функция для заданной степени, гладкости и области определения может быть представлена как линейная комбинация B-сплайнов той же степени и гладкости на той же области определения.^[1] Термин B-сплайн был введён И. Шёнбергом и является сокращением от словосочетания «базисный сплайн».^[2] B-сплайны могут быть вычислены с помощью алгоритма де Бура, обладающего устойчивостью.

В системах автоматизированного проектирования и компьютерной графике термин B-сплайн часто описывает сплайн-кривую, которая задана сплайн-функциями, выраженными линейными комбинациями B-сплайнов.

Определение

Когда узлы равноудалены друг от друга, говорят, что B-сплайн является однородным, в противном случае его называют неоднородным

Замечания

Когда количество узлов совпадает со степенью сплайна, B-сплайн вырождается в кривую Безье. Форма базисной функции определяется расположением узлов. Масштабирование или параллельный перенос базисного вектора не влияет на базисную функцию.

Сплайн содержится в выпуклой оболочке его опорных точек.

Базисный сплайн степени n

${\displaystyle b_{i,n}(t)\,\;}$

не обращается в нуль только на промежутке [t_i, t_i+n+1], то есть

${\displaystyle b_{i,n}(t)=\left\{{\begin{matrix}>0&\mathrm {if} \quad t_{i}\leq t<t_{i+n+1}\\0&\mathrm {otherwise} \end{matrix}}\right.}$

Другими словами, изменение одной опорной точки влияет только на локальное поведение кривой, а не на глобальное, как в случае кривых Безье.

Базисная функция может быть получена из полинома Бернштейна

P-сплайн

P-сплайн является модификацией B-сплайна и отличается использованием штрафной функции. Её введение позволяет использовать B-сплайновое сглаживание с весовыми коэффициентами для подгонки кривой в сочетании с дополнительным повышением гладкости и исключением переобучения на основе штрафной функции^[3].

См. также

• Сплайн
• NURBS
• Алгоритм де Бура
• Атомарные функции

Ссылки

• Interactive java applets for B-splines
• B-spline on MathWorld
• Module B-Splines by John H. Mathews
• BSpline Java Applet by Stefan Beck (with C++ Source) Архивная копия от 19 декабря 2007 на Wayback Machine