Поверхность Шерка

Поверхность Шерка (названа именем Генриха Шерка) является примером минимальной поверхности. Шерк описал две полные вложенные минимальные поверхности в 1834 году^[1]. Его первая поверхность является дважды периодической поверхностью, а вторая — просто периодической. Они были третьим нетривиальным примером минимальных поверхностей (первые две — катеноид и геликоид)^[2]. Две поверхности сопряжены друг другу.

Анимация превращения друг в друга первой и второй поверхностей Шерка: они являются членами одного и того же ассоциированного семейства минимальных поверхностей.

Поверхности Шерка возникают при изучении некоторых задач о минимальных поверхностях и изучении гармонических диффеоморфизмов гиперболического пространства.

Первая поверхность Шерка

Первая поверхность Шерка асимптотически стремится к двум бесконечным семействам параллельных плоскостей, ортогональных друг другу. Поверхности образуют близ z = 0 арки мостов в шахматном порядке. Поверхность содержит бесконечное число прямых вертикальных линий.

Построение простой поверхности Шерка

Поверхность Шерка Σ, заданная как график функции ${\displaystyle u(x,y)=\log(\cos(x)/\cos(y))}$ для x и y между ${\displaystyle -\pi /2}$ и ${\displaystyle \pi /2}$.

Девять периодов поверхности Шерка.

Рассмотрим следующую минимальную поверхность на квадрате на евклидовой плоскости: для натурального числа n найти минимальную поверхность ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ как график некоторой функции

${\displaystyle u_{n}:\left(-{\tfrac {\pi }{2}},+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\times \left(-{\tfrac {\pi }{2}},+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} }$

так что

${\displaystyle \lim _{y\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=+n}$ для ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}<x<+{\tfrac {\pi }{2}},}$

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=-n}$ для ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}<y<+{\tfrac {\pi }{2}}.}$

То есть, u_n удовлетворяет уравнению минимальной поверхности

${\displaystyle \mathrm {div} \left({\tfrac {\nabla u_{n}(x,y)}{\sqrt {1+|\nabla u_{n}(x,y)|^{2}}}}\right)\equiv 0}$

и

${\displaystyle \Sigma _{n}=\left\{(x,y,u_{n}(x,y))\in \mathbb {R} ^{3}\left|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right.\right\}.}$

Что будет с поверхностью при стремлении n к бесконечности? Ответ дал Х. Шерк в 1834 году: предельная поверхность ${\displaystyle \Sigma }$ является графиком функции

${\displaystyle u:\left(-{\tfrac {\pi }{2}},+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\times \left(-{\tfrac {\pi }{2}},+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle u(x,y)=\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)}}\right).}$

То есть поверхность Шерка над квадратом равна

${\displaystyle \Sigma =\left\{\left.\left(x,y,\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)}}\right)\right)\in \mathbb {R} ^{3}\right|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right\}.}$

Более общие поверхности Шерка

Можно рассмотреть похожие задачи с минимальными поверхностями на других четырёхугольниках на евклидовой плоскости. Можно также рассмотреть ту же задачу на четырёхугольниках на гиперболической плоскости. В 2006 году Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин использовали гиперболические поверхности Шерка для построения гармонического диффеоморфизма из комплексной плоскости в гиперболическую плоскость (единичный диск с гиперболической метрикой), опровергая тем самым гипотезу гипотеза Шёна — Яу^[англ.].

Вторая поверхность Шерка

Вторая поверхность Шерка

Вторая поверхность Шерка глобально выглядит как две ортогональные плоскости, пересечение которых состоит из последовательности туннелей в чередующихся направлениях. Их пересечения с горизонтальными плоскостями состоит из чередующихся гипербол.

Поверхность задаётся уравнением:

${\displaystyle \sin(z)-\mathrm {sh} \,(x)\mathrm {sh} \,(y)=0}$

Поверхность имеет Параметризация Вейерштрасса — Эннепера ${\displaystyle f(z)={\tfrac {4}{1-z^{4}}}}$, ${\displaystyle g(z)=iz}$ и может быть параметризована как^[3]:

${\displaystyle x(r,\theta )=2\Re (\ln(1+re^{i\theta })-\ln(1-re^{i\theta }))=\ln \left({\tfrac {1+r^{2}+2r\cos \theta }{1+r^{2}-2r\cos \theta }}\right)}$

${\displaystyle y(r,\theta )=\Re (4i\tan ^{-1}(re^{i\theta }))=\ln \left({\tfrac {1+r^{2}-2r\sin \theta }{1+r^{2}+2r\sin \theta }}\right)}$

${\displaystyle z(r,\theta )=\Re (2i(-\ln(1-r^{2}e^{2i\theta })+\ln(1+r^{2}e^{2i\theta }))=2\tan ^{-1}\left({\tfrac {2r^{2}\sin 2\theta }{r^{4}-1}}\right)}$

для ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$ и ${\displaystyle r\in (0,1)}$. Это даёт один период поверхности, который может быть распространён в z-направлении симметрией.

Поверхность обобщил Х. Кархер в семейство сёдл пилона^[англ.] периодических минимальных поверхностей.

В литературе по ошибке эту поверхность называют пятой поверхностью Шерка^[4][5]. Чтобы исключить путаницу, полезно упоминать поверхность как поверхность Шерка одного периода или как башню Шерка.