Ассоциированное семейство

Ассоциированное семейство (или семейство Бонне) минимальной поверхности — однопараметрическое семейство минимальных поверхностей, которые разделяют данные Вейерштрасса^[1].

Анимация, показывающая изменение геликоида при изменении ${\displaystyle \theta }$.

Если поверхность имеет представление

${\displaystyle x_{k}(\zeta )=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3}$

семейство описывается формулой

${\displaystyle x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]}$

При ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ поверхность называется сопряжённой поверхности ${\displaystyle \theta =0}$^[2].

Преобразование можно рассматривать как локальное вращение направлений главной кривизны. Нормали поверхности точки с фиксированным ${\displaystyle \zeta }$ остаются неизменными при изменении ${\displaystyle \theta }$. Сама точка движется по эллипсу .

Некоторые примеры ассоциированных семейств поверхностей: семейства катеноидов и геликоидов, семейства Шварца P, Шварца D и гироидов, а также семейства первой и второй поверхностей Шерка. Поверхность Эннепера сопряжена с собой — она остаётся неизменной при изменении ${\displaystyle \theta }$.

Сопряжённые поверхности имеют следующее свойство: любая прямая на поверхности отражается в планарную геодезическую линию на сопряжённой поверхности и наоборот. Если кусок поверхности ограничен прямой, то сопряжённый кусок ограничен плоской линией симметрии. Это полезно при построении минимальных поверхностей путём перехода в сопряжённое пространство: ограничение плоскостями эквивалентно ограничению многоугольником^[3].

Имеются аналоги ассоциированным семействам минимальных поверхностей в пространствах более высокой размерности и для многообразий^[4].