Поглощение (алгебра)

Поглоще́ние (англ. absorption^[1]) — свойство согласованности двух бинарных операций «${\displaystyle \circ }$» и «${\displaystyle \bullet }$», определённых на одном и том же множестве:

${\displaystyle x\circ (x\bullet y)=x\bullet (x\circ y)=x}$

для любых элементов ${\displaystyle x,\;y}$^[2][3][4][5].

Синонимы: закон поглощения^[2][3][4] (англ. absorption law^[6]); тождество поглощения^[5] (англ. absorption identity^[7]).

Термин «поглощение» в английском языке изолированно почти не встречается, только в сочетаниях «закон поглощения» или «тождество поглощения».

Если две бинарные операции на множестве удовлетворяют закону поглощения, то ${\displaystyle x\circ y=y}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x\bullet y=x}$. Действительно, если ${\displaystyle x\circ y=y}$, то ${\displaystyle x\bullet (x\circ y)=x\bullet y}$, и ${\displaystyle x=x\bullet y}$. Обратно аналогично^[3].

Две бинарные операции на множестве удовлетворяют законам ассоциативности, коммутативности и поглощения, и на данном множестве имеется бинарное отношение элементов ${\displaystyle x\leqslant y}$, которое задаётся любой из двух равносильных эквивалентностей:

• ${\displaystyle x\leqslant y\Leftrightarrow x\circ y=y}$,
• ${\displaystyle x\leqslant y\Leftrightarrow x\bullet y=x}$,

тогда и только тогда, когда данное множество упорядочено с отношением порядка ${\displaystyle \leqslant }$ таким, что для любых элементов ${\displaystyle x,\;y}$ имеется как наименьшая верхняя грань ${\displaystyle x\circ y}$, так и наибольшая нижняя грань ${\displaystyle x\bullet y}$^[2][3].

Свойства поглощения

1. Если выполняются оба закона поглощения

${\displaystyle x\circ (x\bullet y)=x\bullet (x\circ y)=x}$,

то выполняются и оба закона идемпотентности

${\displaystyle x\circ x=x}$ и ${\displaystyle x\bullet x=x}$^[8].

Действительно,

${\displaystyle x\circ (x\bullet (x\circ x))=x\circ [x\bullet (x\circ x)]=x\circ x}$

и

${\displaystyle x\circ (x\bullet (x\circ x))=[x\circ (x\bullet (x\circ x))]=x}$^[8].

Для операции «${\displaystyle \bullet }$» рассуждения аналогичны^[8].

2 (Кальман, 1968). Решётку можно определить с помощью двух тождеств. Алгебра, то есть множество с двумя бинарными операциями «${\displaystyle \circ }$» и «${\displaystyle \bullet }$», есть решётка тогда и только тогда, когда

${\displaystyle x\circ (x\bullet y)=x}$

и

${\displaystyle (((x\bullet y)\bullet z)\circ u)\circ v=(((y\bullet z)\bullet x)\circ v)\circ ((w\circ u)\bullet u)}$

для любых элементов ${\displaystyle x,\;y,\;z,\;u,\;v,\;w}$^[8].

3 (Маккензи, 1970). Решётку можно определить с помощью одного тождества^[8].