Показатели центра распределения

Для определения средних или наиболее типичных значений совокупности используются показатели центра распределения. Основные из них — математическое ожидание, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее степенное, взвешенные средние, центр сгиба, медиана, мода.

Геометрическая визуализация моды, медианы и среднего значения произвольной функции плотности вероятности

Расчёт средних величин производится разными способами, и, соответственно, применение их тоже зависит от исследуемой совокупности.

У симметричного одномерного унимодального распределения математическое ожидание, медиана и мода одинаковы.

Математическое ожидание

Основная статья: Математическое ожидание

${\displaystyle \operatorname {M} \xi =\int xf_{\xi }(x)\,dx}$.

В зарубежной литературе применяется обозначение ${\displaystyle \mathbb {E} \,\xi }$.

В случае дискретной величины ${\displaystyle x}$ и постоянной плотности ${\displaystyle f_{\xi }(x)}$ применяется выборочное среднее:

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$.

Преимущества: если эксперимент повторяется многократно, а результаты суммируются (например, в страховании, азартных играх), математическое ожидание — естественный выбор.

Недостатки: не соответствует интуитивному пониманию «среднего»; меньшинство с аномальными значениями (долгожители, миллиардеры, бракованные изделия и т. д.) серьёзно смещают матожидание. В статистических расчётах рекомендуется отбрасывать такой «хвост».

Медиана

Основная статья: Медиана (статистика)

У одномерного распределения медиана — квантиль уровня 0,5. Иными словами, медиана — это такое число ${\displaystyle m}$, что ${\displaystyle \operatorname {P} \{\xi <m\}=0{,}5}$ или ${\displaystyle \operatorname {P} \{\xi <=m\}=0{,}5}$.

Преимущества: Медиана согласуется с интуитивным пониманием «среднего». К тому же, даже очень «дикие» выбросы изменяют медиану незначительно. Например, если к сотне бедняков (доходы равномерно распределены от 0 до 1 $) добавить одного миллиардера (1 млрд $), среднее сместится от 0,5 $ до 10 млн $, в то время как медиана — от 0,5 $ до 0,505. Монотонная функция не изменяет медиану — для любой монотонной ${\displaystyle f(x)}$ будет выполняться ${\displaystyle \operatorname {Med} \,f(\xi )=f(\operatorname {Med} \,\xi )}$.

Недостатки: плохо работает для многомерных распределений со сложной взаимосвязью компонентов. Сложна в расчёте.

Мода

Основная статья: Мода (статистика)

Мода — точка, в которой плотность распределения имеет локальный максимум. Распределение может иметь несколько мод.

Преимущества: позволяет работать с данными нечисловой природы.

Недостаток: не учитывает поведение распределения в других точках.