Выборочное среднее

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Определение

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$. Тогда её выборочным средним называется случайная величина

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$.

Свойства выборочного среднего

• Пусть ${\displaystyle {\hat {F}}(x)}$ — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ функция ${\displaystyle {\hat {F}}(\omega ,x)}$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно ${\displaystyle {\overline {X}}(\omega )}$.

• Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\bar {X}}\right]=\mathbb {E} [X_{i}],\quad i=1,\ldots ,n}$.

• Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего:

${\displaystyle {\overline {X}}\to \mathbb {E} [X_{i}]}$ почти наверное при ${\displaystyle n\to \infty }$.

• Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин ${\displaystyle X_{i}}$ конечна и ненулевая, то есть ${\displaystyle \mathrm {D} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty ,\sigma ^{2}\not =0,\;i=1,\ldots ,n}$. Тогда

${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\overline {X}}-\mathbb {E} [X_{1}]\right)\to \mathrm {N} (0,\sigma ^{2})}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$,

где ${\displaystyle \mathrm {N} (0,\sigma ^{2})}$ — нормальное распределение со средним ${\displaystyle 0}$ и дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

• Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

См. также

• Выборочная дисперсия
• Выборочные моменты