Полиамонд

Полиамонд (англ. polyiamond)^[1][2] или треуго́льный мо́нстр (англ. triangular animal)^[3][4][5] — геометрическая фигура в виде многоугольника, составленного из нескольких одинаковых равносторонних треугольников, примыкающих друг к другу по рёбрам. Полиамонды можно рассматривать как конечные подмножества треугольного паркета со связной внутренностью.

Наряду с полимино, полиамонды широко распространены в занимательной математике, в частности, в задачах на составление фигур^[6][7][8], на замощение плоскости^[9].

Количество

Одним из основных вопросов о полиамондах является вопрос о количестве полиамондов, которые можно составить из данного числа треугольников. Как и в случае полимино, различают «свободные» («двусторонние») полиамонды, для которых повороты и отражения не считаются различными формами; «односторонние», когда фигуры при зеркальных отражениях считаются различными, и «фиксированные», различаемые также и при поворотах.

В следующей таблице указано число n-амондов разных типов вплоть до n = 12.

n	полиамонды					псевдополиамонды[10][11]
	двусторонние			односторонние	фиксированные	двусторонние
	все	с отверстиями	без отверстий
	A000577	A070764	A070765	A006534	A001420	(нет)
1	1	0	1	1	2	1
2	1	0	1	1	3	3
3	1	0	1	1	6	11
4	3	0	3	4	14	75
5	4	0	4	6	36	-
6	12	0	12	19	94	-
7	24	0	24	43	250	40 609[11]
8	66	0	66	120	675	-
9	160	1	159	307	1838	-
10	448	4	444	866	5053	-
11	1186	25	1161	2336	14 016	-
12	3334	108	3226	6588	39 169	-

Другие последовательности OEIS, связанные с полиамондами:

• Последовательность A096361 в OEIS: площадь (в треугольниках), покрываемая всеми n-амондами;
• Последовательность A030223 в OEIS: число n-амондов с зеркальной симметрией;
• Последовательность A030224 в OEIS: число n-амондов без зеркальной симметрии.

Примеры

Название	Число фигур	Фигуры
Мониамонд (мономонд)	1
Диамонд	1
Триамонд	1
Тетриамонд	3
Пентиамонд	4
Гексиамонд	12	«Полоса»[3] (bar)[1][4] «Посох» (crook) «Корона» (crown) «Сфинкс» (sphinx) «Змея» (snake) «Яхта» (yacht) «Погон» (chevron) «Указательный столб» (signpost) «Рак» (lobster) «Крюк» (hook) «Шестиугольник» (hexagon) «Бабочка» (butterfly)

Терминология

Фрэнк Харари в своих публикациях называл n-мино «n-клеточными животными». В статье «Шахматные доски и полимино» в журнале American Mathematical Monthly Соломон Голомб предложил использовать треугольное или шестиугольное замощение вместо квадратного паркета, введя термины «треугольные монстры» и «шестиугольные монстры» для обозначения соответствующих полиформ^[4].

Термин «полиамонд» был придуман математиком Т. О’Берном из Глазго по аналогии с «полимино» и одним из английских названий ромба — диамонд (англ. diamond). Поскольку диамонд можно составить из двух равносторонних треугольников, то фигуру из трёх равносторонних треугольников О’Берн назвал триамондом, из четырёх — тетриамондом и т. д. О’Берн также придумал большинство названий гексиамондов^[2][3][4] (см. табл.)

См. также

• Мозаика «Сфинкс»