Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Шестиугольный паркет

Из Википедии, свободной энциклопедии

Шестиугольный паркет
Remove ads

Шестиуго́льный парке́т (шестиугольный паркета́ж[1]) или шестиугольная мозаика — замощение плоскости равными правильными шестиугольниками, расположенными сторона к стороне.

Подробнее Шестиугольная мозаика ...

Шестиугольная мозаика является двойственной треугольной мозаике — если соединить центры смежных шестиугольников, то проведённые отрезки дадут треугольную мозаику[1][2]. Символ Шлефли шестиугольного паркета — {6,3} (что означает, что в каждой вершине паркета сходятся три шестиугольника), или t{3,6}, если мозаика рассматривается как усечённая треугольная.

Английский математик Конвей называл мозаику hextille (шестипаркет).

Thumb
Шахматная раскраска шестиугольного паркета

Внутренний угол шестиугольника равен 120 градусов, так что три шестиугольника в одной вершине дают вместе 360 градусов. Это одна из трёх правильных мозаик плоскости. Другие две мозаики — треугольный паркет и квадратный паркет.

Remove ads

Приложения

Суммиров вкратце
Перспектива

Замощение плоскости правильными шестиугольниками является основой для гекса, гексагональных шахмат и других игр на клетчатом поле, полигексов, вариантов игры «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов, кольцевых флексагонов и т. п.

Шестиугольная мозаика является наиболее плотным способом упаковки окружностей в двухмерном пространстве. Гипотеза о сотах[англ.] утверждает, что шестиугольная мозаика является лучшим способом разбить поверхность на области равной площади с наименьшим суммарным периметром. Оптимальную трёхмерную структуру для сот (скорее, мыльных пузырей) исследовал лорд Кельвин, который верил, что структура Кельвина[англ.] (или объёмно-центрированная кубическая решётка) оптимальна. Однако менее правильная структура Вэйра — Фелана[англ.] слегка лучше[3].

Эта структура существует в природе в виде графита, где каждый слой графена имеет сходство с проволочной сеткой, где роль проволоки играют сильные ковалентные связи. Были синтезированы трубчатые листы графена, они известны как углеродные нанотрубки. Они имеют много потенциальных приложений ввиду их высокой прочности на разрыв и электрических свойств. На графен похож силицен.

Шестиугольная мозаика появляется во многих кристаллах. В трёхмерном пространстве гранецентрированная кубическая структура и гексагональная плотноупакованная структура часто встречаются в кристаллах. Они являются наиболее плотными сферами в трёхмерном пространстве. Структурно они состоят из параллельных слоёв шестиугольной мозаики подобно структуре графита. Отличаются они типом смещения уровней относительно друг друга, при этом гранецентрированная кубическая структура является более правильной. Чистая медь, среди прочих материалов, образует гранецентрированную кубическую решётку.

Remove ads

Однородные раскраски

Существуют три различные однородные раскраски шестиугольной мозаики, все получаются из зеркальной симметрии построений Витхоффа. Запись (h,k) представляет периодическое повторение цветной плитки с шестиугольными расстояниями h и k.

Подробнее k-однородные, 1- однородные ...

3-х цветная мозаика образуется перестановочным многогранником порядка 3.

Шестиугольная мозаика с фаской

Снятие фаски шестиугольной мозаики заменяет рёбра новыми шестиугольниками и преобразует в другую шестиугольную мозаику. В пределе исходные грани исчезают, а новые шестиугольники преобразуются в ромбы, превращая мозаику в ромбическую.

Подробнее Шестиугольники (H), Шестиугольники со скошенным краем (cH) ...
Remove ads

Связанные мозаики

Суммиров вкратце
Перспектива

Шестиугольники можно разбить на 6 треугольников. Это приводит к двум 2-однородным мозаикам, и треугольной мозаике:

Подробнее Правильная мозаика, Разбиение ...

Шестиугольную мозаику можно считать удлинённой ромбической мозаикой, в которой каждая вершина ромбической мозаики «растянута» с образованием нового ребра. Это похоже на связь замощений ромбододекаэдром и ромбошестиугольным додекаэдром[англ.] в трёхмерном пространстве.

Thumb
Ромбическая мозаика
Thumb
Шестиугольная мозаика
Thumb
Сетка, показывающая такую связь

Можно также разбить протоплитки некоторых шестиугольных мозаик на два, три, четыре, или девять одинаковых пятиугольников:

Thumb
Пятиугольная мозаика 1-го типа с перекрытием правильными шестиугольниками (каждый шестиугольник состоит из 2 пятиугольников).
Thumb
Пятиугольная мозаика 3-го типа с перекрытием правильными шестиугольниками (каждый шестиугольник состоит из 3 пятиугольников).
Thumb
Пятиугольная мозаика 4-го типа с перекрытием полуправильными шестиугольниками (каждый шестиугольник состоит из 4 пятиугольников).
Thumb
Пятиугольная мозаика 3-го типа с перекрытием правильными шестиугольниками двух размеров (шестиугольники состоит из 3 и 9 пятиугольников).

Варианты симметрии

Эта мозаика топологически связана с последовательностью правильных мозаик с шестиугольными гранями, которая начинается с шестиугольной мозаики. Мозаики бесконечной последовательности имеют символ Шлефли {6,n} и диаграмму Коксетера node_16nodennode.

Подробнее *n62 варианты симметрии правильных мозаик: {6,n}, Сферические ...

Шестиугольная мозаика топологически связана (как часть последовательности) с правильными многогранниками с вершинной фигурой n3.

Подробнее Сферические, Евклидовы ...

Подобным образом мозаика связана с однородными усечёнными многогранниками с вершинной фигурой n.6.6.

Подробнее *n32 мутации симметрий усечённых мозаик: n.6.6, Симметрия*n32 [n,3] ...

Мозаика является также частью усечённых ромбических многогранников и мозаик с симметрией группы Коксетера [n,3]. Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором все ромбы есть квадраты. Усечённые формы имеют правильные n-угольники на месте усечённых вершин и неправильные шестиугольные грани.

Подробнее Сферические, Евклидовы ...
Remove ads

Построение Витхоффа из шестиугольных и треугольных мозаик

Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик, базирующихся на правильных шестиугольных мозаиках (или на двойственных треугольных мозаиках).

Если покрасить плитки исходных граней красным, исходные вершины (получившиеся на их месте многоугольники) жёлтым, а исходные рёбра (получившиеся на их месте многоугольники) — синим, существует 8 форм, 7 из которых топологически различны. (Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Подробнее Однородные шестиугольные/треугольные мозаики, Фундаментальные домены ...
Remove ads

Моноэдральные выпуклые шестиугольные мозаики

Существует 3 типа моноэдральных[4] выпуклых шестиугольных мозаик[5]. Все они изоэдральны. Каждая имеет параметрические варианты с фиксированной симметрией. Тип 2 содержит скользящие симметрии и сохраняет хиральные пары различными.

Подробнее p2, 2222, pgg, 22× ...
Remove ads

Топологически эквиваленные мозаики

Суммиров вкратце
Перспектива

Шестиугольные мозаики могут быть идентичны {6,3} топологии правильной мозаики (3 шестиугольника в каждой вершине). Существует 13 вариантов шестиугольной мозаики с изоэдральными гранями. С точки зрения симметрии все грани имеют одинаковый цвет, раскраска же на рисунках представляет положение в сетке[6]. Одноцветные (1-плиточные) сетки состоят из шестиугольных параллелогонов.

Подробнее pg (××), p2 (2222) ...

Другие топологически изоэдральные шестиугольные мозаики выглядят как четырёхугольные и пятиугольные, не соприкасающиеся сторона-к-стороне, но многоугольники которых можно рассматривать как имеющие коллинеарные смежные стороны:

Подробнее pmg (22*), pgg (22×) ...
Подробнее p2 (2222), pgg (22×) ...

2-однородные и 3-однородные замощения имеют вращательную степень свободы, которая искривляет 2/3 шестиугольников, включая случай коллинеарности сторон, что можно видеть как мозаики шестиугольников и больших треугольников с несовпадающими сторонами (не сторона-к-стороне)[7].

Мозаика может быть искривлена до хиральных 4-цветных переплетённых в трёх направлениях узоров, с превращением некоторых шестиугольников в параллелограммы. Переплетённые узоры с 2 цветными гранями имеют вращательную симметрию 632 (p6).

Подробнее Правильная, Повёрнутая ...
Remove ads

Упаковка кругов

Шестиугольную мозаику можно использовать для упаковки кругов, разместив круги одинакового радиуса с центрами в вершинах мозаики. Каждый круг соприкасается с 3 другими кругами упаковки (контактное число)[8]. Круги можно закрасить двумя цветами. Пространство внутри каждого шестиугольника позволяет поместить один круг, создавая наиболее плотную упаковку треугольной мозаики, в которой каждый круг соприкасается с максимально возможным числом кругов (6).

Thumb Thumb

Remove ads

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

Существует 2 правильных комплексных апейрогона[англ.], имеющиx те же вершины шестиугольной мозаики. Рёбра правильных комплексных апейрогонов могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r имеют ограничение: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Рёбра имеют p вершин и вершинные фигуры являются r-угольниками[9].

Первый апейрогон состоит из 2-рёбер, по три вокруг каждой вершины, второй имеет шестиугольные рёбра, по три вокруг каждой вершины. Третий комплексный апейрогон, имеющий те же самые вершины, квазиправилен и в нём чередуются 2-рёбра и 6-рёбра.

Подробнее 2{12}3 or, 6{4}3 or ...
Remove ads

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads