Полупрямое произведение

Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$, и действию ${\displaystyle \phi }$ группы ${\displaystyle H}$ на группе ${\displaystyle N}$ автоморфизмами.

Полупрямое произведение групп ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle H}$ над ${\displaystyle \phi }$ обычно обозначается ${\displaystyle N\rtimes _{\phi }H}$.

Конструкция

Пусть задано действие группы ${\displaystyle H}$ на пространстве группы ${\displaystyle N}$ с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм ${\displaystyle \phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)}$ группы ${\displaystyle H}$ в группу автоморфизмов группы ${\displaystyle N}$. Автоморфизм группы ${\displaystyle N}$, соответствующий элементу ${\displaystyle h}$ из ${\displaystyle H}$ при гомоморфизме ${\displaystyle \phi }$, обозначим ${\displaystyle \phi _{h}}$. За множество элементов полупрямого произведения ${\displaystyle G=N\rtimes _{\phi }H}$ групп ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$ над гомоморфизмом ${\displaystyle \phi }$ — берётся прямое произведение ${\displaystyle N\times H}$. Бинарная операция ${\displaystyle *}$ на ${\displaystyle G}$ определяется по следующему правилу:

${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\cdot \phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}\cdot h_{2})}$ для любых ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$, ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$.

Свойства

1. Группы ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$ естественно вложены в ${\displaystyle G}$, причём ${\displaystyle N}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G}$.
2. Каждый элемент ${\displaystyle g\in G}$ однозначно разложим в произведение ${\displaystyle g=nh}$, где ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle n}$ — элементы групп ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно. (Это свойство оправдывает название группы ${\displaystyle G}$ как полупрямого произведения групп ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$.)
3. Заданное действие ${\displaystyle \phi }$ группы ${\displaystyle H}$ на группе ${\displaystyle N}$ совпадает с действием ${\displaystyle H}$ на ${\displaystyle N}$ сопряжениями (в группе ${\displaystyle G}$).

Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе ${\displaystyle G}$ (свойство универсальности полупрямого произведения групп).

Обоснование

• Ассоциативность операции проверяется непосредственно. Используются соотношения

${\displaystyle \phi _{h_{1}}\circ \phi _{h_{2}}(n)=\phi _{h_{1}h_{2}}(n)}$ и ${\displaystyle \phi _{h}(n_{1})\phi _{h}(n_{2})=\phi _{h}(n_{1}n_{2})}$.

• Единицей группы G служит элемент ${\displaystyle (1_{N},1_{H})}$, где ${\displaystyle 1_{N}}$ и ${\displaystyle 1_{H}}$ - единицы в группах N и H соответственно.
  (Используется равенство ${\displaystyle \phi _{1_{H}}(n)=n}$.)
• Элемент, обратный к ${\displaystyle (n,h)}$, равен ${\displaystyle (\,\phi _{h}^{-1}(n^{-1}),h^{-1})}$.
  • Для доказательства того, что этот элемент обратен слева, используется равенство ${\displaystyle \phi _{h}^{-1}(n^{-1})=\phi _{h^{-1}}(n)^{-1}}$.
• Отображения ${\displaystyle n\mapsto (n,1_{H})}$ и ${\displaystyle h\mapsto (1_{N},h)}$ гомоморфно вкладывают группы N и H в группу G. Их образы имеют единственный общий элемент - единицу группы G.
• Отображение ${\displaystyle (n,h)\mapsto h}$ есть эпиморфизм группы G на группу H с ядром N. Отсюда следует, что группа N нормальна в G.
• Равенство ${\displaystyle (n,h)=(n,1)*(1,h)}$ даёт разложение произвольного элемента группы G в произведение элементов n и h из групп N и H соответственно. Из этого же равенства следует и единственность разложения.
• Равенство ${\displaystyle (\phi _{h}(n),1)=(1,h)(n,1)(1,h)^{-1}}$ показывает, что действие группы H на N, задаваемое гомоморфизмом ${\displaystyle \phi }$ совпадает с действием H на N сопряжениями.
• Чтобы доказать универсальное свойство полупрямого произведения, надо воспользоваться формулой ${\displaystyle (n_{1}h_{1})\cdot (n_{2}h_{2})=n_{1}(h_{1}n_{2}h_{1}^{-1})\cdot (h_{1}h_{2})}$.
  Из неё следует, что произведение в группе G с однозначным NH-разложением (при условии нормальности группы N) полностью определяется правилами умножения внутри подгрупп N и H и правилами сопряжения элементов из N элементами из H.

Пример

Группа вычетов по модулю 4 (${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$) действует на ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ (рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:

${\displaystyle \phi _{h}(n)=a^{h}n}$, где ${\displaystyle a}$ — фиксированный ненулевой элемент ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$, ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{5}}$.

Соответственно, на множестве ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{4}}$ можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:

1. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+n_{2},h_{1}+h_{2})}$, где ${\displaystyle a=1}$;
2. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$, где ${\displaystyle {a=4\equiv -1}{\pmod {5}}}$;
3. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+2^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$;
4. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+3^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$;

Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).

Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.