Поляризация (алгебра Ли)

Поляриза́ция в теории представлений — максимальное вполне изотропное подпространство определённой кососимметрической билинейной формы на алгебре Ли. Понятие поляризации играет важную роль при построении неприводимых унитарных представлений некоторых классов групп Ли методом орбит^[англ.], а также в гармоническом анализе на группах Ли и математической физике.

Определение

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа Ли, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — её алгебра Ли, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ — сопряжённое к ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ пространство. Посредством ${\displaystyle \langle f,\,X\rangle }$ обозначим значение линейного функционала (ковектора) ${\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ на векторе ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$. Подалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется подчинённой ковектору ${\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}}$, если выполняется условие

${\displaystyle \langle f,\,[X,\,Y]\rangle =0\quad \forall \quad X,Y\in {\mathfrak {h}}}$,

или, более коротко,

${\displaystyle \langle f,\,[{\mathfrak {h}},\,{\mathfrak {h}}]\rangle =0}$.

Пусть, далее, группа ${\displaystyle G}$ действует на пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ коприсоединённым представлением ${\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}}$. Обозначим посредством ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f}}$ орбиту этого действия, проходящую через точку ${\displaystyle f}$, а ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{f}}$ — алгебру Ли группы ${\displaystyle \mathrm {Stab} (f)}$ — стабилизатора точки ${\displaystyle f}$. Подалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$, подчинённая функционалу ${\displaystyle f}$, называется поляризацией алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ относительно ${\displaystyle f}$, или, короче, поляризацией ковектора ${\displaystyle f}$, если она имеет максимально возможную размерность, а именно

${\displaystyle \dim {\mathfrak {h}}={\frac {1}{2}}\left(\dim \,{\mathfrak {g}}+\dim \,{\mathfrak {g}}^{f}\right)=\dim \,{\mathfrak {g}}-{\frac {1}{2}}\dim \,{\mathcal {O}}_{f}}$^[1][2].

Условие Пуканского

Исторически важную роль в развитии теории представлений сыграло приведённое ниже условие, найденное Л. Пуканским^[3].

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ — поляризация, соответствующая ковектору ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\perp }}$ — её аннулятор, то есть совокупность всех функционалов ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}}$, значение которых на ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ равно нулю: ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\perp }:=\{\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \lambda ,\,{\mathfrak {h}}\rangle =0\}}$. Поляризация ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ называется нормальной, если выполнено условие, которое называется условием Пуканского:

${\displaystyle f+{\mathfrak {h}}^{\perp }\in {\mathcal {O}}_{f}}$.

(1)

Л. Пуканский показал, что условие (1) гарантирует применимость метода орбит^[англ.] А. Кириллова, разработанного изначально для нильпотентных групп Ли, также к более широкому классу разрешимых групп^[4].

Свойства

• Поляризация — это максимальное вполне изотропное подпространство билинейной формы ${\displaystyle \langle f,\,[\cdot ,\,\cdot ]\rangle }$ на алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$^[1][2].
• Поляризация существует не для всякой пары ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},\,f)}$^[1][2].
• Если для функционала ${\displaystyle f}$ существует поляризация, то она существует и для любой точки орбиты ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f}}$, причём если ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ — поляризация для ${\displaystyle f}$, то ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}{\mathfrak {h}}}$ — поляризация для ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f}$. Таким образом, существование поляризации — свойство орбиты в целом^[1].
• Если алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ вполне разрешима, то для неё существует поляризация относительно каждой точки ${\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}}$^[2].
• Если ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ — орбита общего положения, то относительно каждой её точки для любой алгебры Ли имеется поляризация, причём её можно выбрать разрешимой^[2].
• Если для орбиты ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ существует поляризация, то вложение ${\displaystyle {\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$ может быть реализовано функциями ${\displaystyle f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}}$, линейными по ${\displaystyle 1/2\,\dim {\mathcal {O}}}$ переменным ${\displaystyle p}$, где ${\displaystyle (q,\,p)}$ — канонические координаты для формы Кириллова на орбите ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$.^[5][6].