Общее положение

О́бщее положе́ние — свойство, которое выполняется для почти для всех рассматриваемых объектов, при этом точное значение слова почти определяется из контекста^[1].

Конфигурация из пяти прямых общего положения.

Обычно этот термин применяется в следующих словосочетаниях: «объекты общего положения, имеют свойство S», «S есть свойство общего положения», «приведём объекты в общее положение». Типичный пример использования: «Рассмотрим ${\displaystyle n}$ прямых общего положения на плоскости, то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.» Заметим, что при необходимости условие общего положения можно усилить или ослабить, добавив например, что ни одна прямая не проходит через начало координат или убрав условие на параллельные прямые^[1].

Также используется термин типичный объект, или объект общего положения, — объект, обладающий одним или несколькими «типичными свойствами» (какими именно — выясняется из контекста)^[1].

Примеры использования

Два общих положения прямой и окружности

Следующий пример типичен для понятия «общее положение»^[1]. Прямая и окружность в общем положении либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. Иначе говоря, почти всегда прямая либо проходит вне окружности, либо пересекает её в двух точках, и почти никогда её не касается. В количественных соотношениях, если на плоскости есть окружность и прямая, то имеется бесконечное количество прямых, параллельных данной прямой, которые либо проходят вне окружности, либо пересекают её в двух точках, и всего две параллельные прямые, которые касаются окружности^[2].

Другой пример свойства общего положения: трансверсальность двух многообразий в объемлющем многообразии.^[2].

Общее положение в пространстве набора точек — свойство ${\displaystyle m}$ точек в ${\displaystyle n}$-мерном аффинном пространстве, может заключаться в том, что никакие ${\displaystyle k}$ из них не лежат в подпространстве размерности ${\displaystyle k-2}$, где ${\displaystyle k=2,3,\dots ,k+1}$. В частности, точки на плоскости находятся в общем положении, если никакие три не лежат на одной прямой^[3]. Требование этого определения избыточно для большинства наборов. В частности, если ${\displaystyle m\geqslant n+1}$, то достаточно предположить, что никакой набор из ${\displaystyle n+1}$ точки не лежит в гиперплоскости^[3].

Общее положение в трёхмерном пространстве двух прямых — прямые не пересекаются. Другими словами, вложение прямой в трёхмерное пространство трансверсально тогда и только тогда, когда прямые не пересекаются^[4].

Функция Морса на гладком многообразии является гладкой функцией общего положения.^[5].

Два подпространства. Рассмотрим вещественное линейное пространство и два его подпространства, сумма размерностей которых больше размерности исходного пространства^[6].

Общее положение в линейном пространстве двух подпространств — алгебраическая сумма подпространств совпадет со всем пространством^[6].

В частности, два подмногообразия дополнительной размерности в общем положении пересекаются трансверсально^[7].

Варианты определений

В зависимости от контекста множество ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ всех рассматриваемых объектов имеет некоторую структуру, которая позволяет говорить о «малых», «пренебрежимых» или, наоборот, «больших», «массивных» подмножествах. В этом случае считается, что некоторое свойство ${\displaystyle S}$ общего положения, если обладающие им объекты образуют в ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ «большую» подсовокупность^[1].

Совокупность ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$, как правило, обладает одной из следующих структур^[1]:

(1) алгебраического многообразия;

(2) гладкого многообразия (возможного, бесконечномерного);

(3) топологического пространства, чаще всего пространства второй категории Бэра, в частности полные метрические пространства.

(4) пространства с мерой.

В перечисленных случаях «малыми» подмножествами считаются соответственно^[1]:

(1) алгебраические подмногообразия меньшей размерности;

(2) гладкие подмногообразия и их конечные или счётные объединения;

(3) нигде не плотные множества или множества первой категории Бэра;

(4) множества меры нуль.

Подмножество ${\displaystyle {\mathfrak {A\subset S}}}$ считается «большим», если дополнение к нему — «малое»^[1].

Замечания

Типичное свойство, или свойство общего положения, — свойство ${\displaystyle S}$, которое выполняется почти для всех объектов из множества ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$.^[1].

В случаях (3) и (4) «большое» подмножество может означать соответственно подмножество второй категории Бэра в непустом открытом подмножестве пространства ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ или подмножество положительной меры. В этих случаях говорят, что «этим множеством объектов нельзя пренебречь», но уже не говорят о «типичности»^[1].

Использование в разделах математики

Использование в геометрической топологии

В геометрической топологии^[англ.], которая изучает как кусочно линейные, так и топологические многообразия и соответствующие классы отображений, термин «общее положение» используется почти исключительно как синоним термина «трансверсальность»^[2].

Использование в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии несложные случаи, аналогичные прямой и окружности на плоскости, легко анализируются с помощью теории исключения^[англ.], при этом основное поле произвольно (но обычно алгебраически замкнуто). В более сложных ситуациях имеются следующие теоремы^[2]:

• две теоремы Бертини^[англ.];
• теорема Лефшеца о гиперплоском сечении^[англ.].

Кроме того, при рассмотрении действия алгебраической группы на алгебраическом многообразии большое значение имеют точки общего положения^[2].

Использование в дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений

Понятие общего положения применяется очень широко в дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений. При доказательстве результатов обычно используются следующие теоремы об общем положении, или теоремы о трансверсальной регулярности^[2][8]:

• теорема Сарда^[9];
• теорема Тома^{[англ.][9]}.

Указанная теорема Сарда при бесконечной размерности не верна, но этот недостаток компенсируется более слабыми результатами^[2].

Использование в теории гладких динамических систем

Несколько теорем о «типичных» свойствах есть в в теории гладких динамических систем. Как правило, эти теоремы доказываются при помощи теоремы Сарда, особенно в локальной теории бифуркаций^[англ.]. Есть немногочисленные положительные результаты, не связанные с этой редукцией^[2].

Существенная особенность теории гладких динамических систем — это существенное различие понятия общего положения в топологическом и метрическом смысле, соответственно случаи (3) и (4)^[2].

Использование в дифференциальной геометрии многообразий

Понятие общего положения используется также в дифференциальной геометрии многообразий^[2][10][11].

Типичное свойство римановой метрики — множество римановых метрик, удовлетворяющих этому свойству, остаточно^[12].

Предложение. Следующее свойство типично^[12]:

• отображение Пуанкаре для периодической траектории геодезического потока либо гиперболическое, либо закручивающее.