Порядок Деорнуа

Порядок Деорнуа — определённый левоинвариантный линейный порядок на группе кос.

Патрик Деорнуа^[англ.], первооткрыватель порядка Деорнуа

Определение

Имеется множество различных подходов к определению порядка Деорнуа. Наиболее элементарный состоит в следующем.

Общий вид положительной по Деорнуа косы

Обозначим символами ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ образующие Артина группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ из ${\displaystyle n}$ нитей. Коса называется положительной по Деорнуа (или ${\displaystyle \sigma }$-положительной), если она может быть задана таким непустым артиновским словом, что образующая Артина ${\displaystyle \sigma _{k}}$ с наименьшим (среди присутствующих в слове) индексом ${\displaystyle k}$ входит в него только в положительных степенях^[1]. Аналогично определяются отрицательные по Деорнуа косы (или ${\displaystyle \sigma }$-отрицательные).

Например, коса ${\displaystyle \beta =\sigma _{1}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}}$ допускает запись ${\displaystyle \beta =\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}}$, поэтому является положительной по Деорнуа.

По определению порядка Деорнуа, коса ${\displaystyle \alpha }$ из ${\displaystyle n}$ нитей меньше косы ${\displaystyle \beta }$ из того же числа нитей, что обозначается символом ${\displaystyle \alpha \leqslant \beta }$ или ${\displaystyle \alpha \leqslant _{n}\beta }$, если либо ${\displaystyle \alpha =\beta }$, либо произведение ${\displaystyle \alpha ^{-1}\beta }$ косы ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$, обратной к косе ${\displaystyle \alpha }$, и косы ${\displaystyle \beta }$ является положительной по Деорнуа^[2]. Во втором случае при обозначении используется строгое неравенство: ${\displaystyle \alpha <\beta }$ или ${\displaystyle \alpha <_{n}\beta }$.

Например, для любой положительной по Деорнуа косы ${\displaystyle \beta }$ выполняется следующая цепочка неравенств:

${\displaystyle \ldots <\beta ^{-2}<\beta ^{-1}<1<\beta <\beta ^{2}<\ldots }$.

Кроме того, в группе кос ${\displaystyle B_{n}}$ выполняются неравенства:

${\displaystyle 1<\sigma _{n-1}<\sigma _{n-1}^{2}<\sigma _{n-1}^{3}<\ldots <\sigma _{n-2}<\sigma _{n-2}^{2}<\sigma _{n-2}^{3}<\ldots \ldots <\sigma _{2}<\sigma _{2}^{2}<\sigma _{2}^{3}<\ldots <\sigma _{1}<\sigma _{1}^{2}<\sigma _{1}^{3}<\ldots }$

Свойства

Множество положительных по Деорнуа кос из заданного числа ${\displaystyle n}$ нитей является положительным конусом на группе кос ${\displaystyle B_{n}}$. Иными словами, выполняются следующие свойства^[3][4]:

1. Любая ${\displaystyle \sigma }$-положительная коса нетривиальна (ацикличность);
2. Любая нетривиальная коса является либо ${\displaystyle \sigma }$-положительной, либо ${\displaystyle \sigma }$-отрицательной (свойство сравнения).

Таким образом, для каждого числа нитей ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ отношение ${\displaystyle \leqslant _{n}}$ является левоинвариантным линейным порядком на группе ${\displaystyle B_{n}}$.

Например, порядок Деорнуа на бесконечной циклической группе ${\displaystyle B_{2}\cong \mathbb {Z} }$ изоморфен стандартному линейному порядку на множестве целых чисел.

Глобальные свойства

Порядок Деорнуа не имеет ни максимальных, не минимальных элементов^[4]. Так, из неравенств ${\displaystyle \sigma _{1}^{-1}<1<\sigma _{1}}$ для любой косы ${\displaystyle \beta }$ следуют неравенства ${\displaystyle \beta \sigma _{1}^{-1}<\beta <\beta \sigma _{1}}$.

Коса ${\displaystyle \sigma _{n-1}}$ является наименьшим положительным по Деорнуа элементом группы ${\displaystyle B_{n}}$^[4]. Таким образом, упорядоченное множество ${\displaystyle (B_{n},\leqslant )}$ является дискретным^[5]. А именно, непосредственным преемником косы ${\displaystyle \beta \in B_{n}}$ является коса ${\displaystyle \beta \sigma _{n-1}}$, а непосредственным предшественником — коса ${\displaystyle \beta \sigma _{n-1}^{-1}}$.

При ${\displaystyle n\geq 3}$ упорядоченная группа ${\displaystyle (B_{n},\leqslant )}$ не является архимедовой^[6]. Иными словами, существуют такие ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$, что неравенство ${\displaystyle \alpha ^{p}<\beta }$ выполняется для любого ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$. Например, ${\displaystyle 1<\sigma _{2}^{p}<\sigma _{1}}$.

При ${\displaystyle n\geq 3}$ упорядоченная группа ${\displaystyle (B_{n},\leqslant )}$ не является конрадовой. Иными словами, существуют такие ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$, что неравенство ${\displaystyle \alpha \beta ^{p}<\beta }$ выполняется для любого ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$. Например, данное неравенство выполняется при ${\displaystyle \alpha =\sigma _{2}^{-2}\sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \beta =\sigma _{2}^{-1}\sigma _{1}}$^[7].

Локальные свойства

Порядок Деорнуа в общем случае не является правоинвариантным^[8]. Так, неравенство ${\displaystyle \alpha <\beta }$ не обязательно влечет неравенство ${\displaystyle \alpha \gamma <\beta \gamma }$. Например, в группе ${\displaystyle B_{3}}$ при ${\displaystyle \beta =\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}}$ и ${\displaystyle \gamma =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}}$ имеем ${\displaystyle 1<\beta }$ и ${\displaystyle \beta \gamma <\gamma }$.

Последнее неравенство также эквивалентно неравенству ${\displaystyle \gamma ^{-1}\beta \gamma <1}$. В частности, коса, сопряженная к положительной по Деорнуа косе, может быть отрицательной по Деорнуа.

При сопряжении положительных кос, однако, свойство положительности по Деорнуа сохраняется. А именно, порядок Деорнуа обладает так называемым свойством подслова^[9][10], которое заключается в том, что все косы вида ${\displaystyle \beta ^{-1}\sigma _{i}\beta }$ положительны по Деорнуа. Или, что то же самое, выполняется неравенство ${\displaystyle \beta <\sigma _{i}\beta }$. В частности, любая квазиположительная коса положительна по Деорнуа.

Неравенство ${\displaystyle \alpha <\beta }$ не обязательно влечет неравенство ${\displaystyle \alpha ^{-1}<\beta ^{-1}}$. Например, в группе ${\displaystyle B_{3}}$ при ${\displaystyle \alpha =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \beta =\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}}$ обе косы ${\displaystyle \alpha ^{-1}\beta =\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}}$ и ${\displaystyle \alpha \beta ^{-1}=\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}}$ являются положительными по Деорнуа^[8].

Количество положительных букв в артиновском слове в общем случае не коррелирует с порядком Деорнуа^[7]. Так, существует такая коса ${\displaystyle \beta }$, содержащая хотя бы одну букву ${\displaystyle \sigma _{1}}$ и являющаяся положительной по Деорнуа, что для любого ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ коса ${\displaystyle \beta ^{p}}$, допускающая запись из хотя бы ${\displaystyle p}$ букв ${\displaystyle \sigma _{1}}$, строго меньше (в порядке Деорнуа) косы ${\displaystyle \sigma _{1}}$, содержащей всего одну такую букву. Примером такой косы является ${\displaystyle \beta =\sigma _{2}^{-1}\sigma _{1}}$.

Антье Деорнуа

Отсутствие при ${\displaystyle n\geq 3}$ свойства архимедовости порядка Деорнуа на группе кос ${\displaystyle B_{n}}$ означает, что существует такая коса ${\displaystyle \alpha \in B_{n}}$, что попарно непересекающиеся интервалы

${\displaystyle \{\beta \in B_{n}\mid \alpha ^{p}\leqslant \beta <\alpha ^{p+1}\}}$,

где ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$, не покрывают всю группу ${\displaystyle B_{n}}$. Тем не менее, если ${\displaystyle \alpha =\Delta _{n}^{2}}$ — центральная коса, то подобные интервалы образуют разбиение группы кос^[4].

Такое единственное ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$, что выполняется неравенство

${\displaystyle \Delta _{n}^{2p}\leqslant \beta <\Delta _{n}^{2(p+1)}}$,

называется антье Деорнуа косы ${\displaystyle \beta \in B_{n}}$ и обозначается символами ${\displaystyle \lfloor \beta \rfloor _{\leqslant }}$ или ${\displaystyle \lfloor \beta \rfloor _{D}}$^[11].

Антье Деорнуа задаёт функцию ${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$ и является квазихарактером на группе кос, дефект которого равен единице. Иными словами, для любых ${\displaystyle \alpha ,\beta \in B_{n}}$ выполняются неравенства^[12]:

${\displaystyle \lfloor \alpha \rfloor _{D}+\lfloor \beta \rfloor _{D}-1\leq \lfloor \alpha \beta \rfloor _{D}\leq \lfloor \alpha \rfloor _{D}+\lfloor \beta \rfloor _{D}+1}$.