Последняя теорема Пуанкаре

Последняя теорема Пуанкаре — утверждение о наличии хотя бы двух неподвижных точек у всякого преобразования плоского кольца, вращающего граничные окружности в противоположных направлениях и при этом сохраняющего площадь. Теорема играет важную роль в теории динамических систем.

Данная теорема была сформулирована Анри Пуанкаре^[1]; статью с утверждением он направил в журнал за две недели до смерти. Доказательство дал Джордж Биркгоф^[2] спустя полгода; его доказательство содержало неточность, которая была исправлена Брауном и Ньюманом^[3].

Формулировка

Пусть ${\displaystyle K}$ — плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами ${\displaystyle r=a}$ и ${\displaystyle r=b}$. Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя:

${\displaystyle r'=\varphi (r,\theta );\theta '=\psi (r,\theta )}$,

удовлетворяющее следующим условиям:

1. отображение сохраняет площадь и гомотопно тождественному;
2. каждая граничная окружность переходит в себя: ${\displaystyle \varphi (a,\theta )=a}$, ${\displaystyle \varphi (b,\theta )=b}$;
3. точки с ${\displaystyle r=a}$ передвигаются против часовой стрелки, а точки с ${\displaystyle r=b}$ — по часовой стрелке. Более точно, функция ${\displaystyle \psi }$ непрерывна и ${\displaystyle \psi (a,\theta )>\theta }$ и ${\displaystyle \psi (b,\theta )<\theta }$ при любом ${\displaystyle \theta }$.

Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.

Вариации и обобщения

• Теорема остаётся верной, если вместо сохранения площади потребовать, чтобы никакая область кольца не преобразовывалась в своё собственное подмножество.