Кольцо (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо.

Кольцо́^[1] (или круговое кольцо^[2]) — понятие математики, плоская геометрическая фигура, ограниченная двумя несовпадающими концентрическими окружностями^[3].

Кольцо

Двумерное кольцо — топологический образ замкнутого кольца, ориентируемое двумерное многообразие рода нуль с двумя компонентами края^[3].

Открытое кольцо является топологическим эквивалентом цилиндра ${\displaystyle S^{1}\times (0,1)}$ и проколотой плоскости.

Обобщения: кольцевая область^[4]; сферический слой^[5].

Определение кольца

Кольцо — точечное множество ${\displaystyle A}$ евклидова плоскость ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}(w)}$, которое можно определить как следующую разность двух концентрических кругов с центром в точке ${\displaystyle a}$, где уменьшаемое — открытый круг, а вычитаемое — замкнутый круг^[6]:

${\displaystyle A=B(a,\,R)\setminus {\bar {B}}(a,\,r),\quad }$ ${\displaystyle 0<r<R}$,

или сразу как следующее кольцо с центром в начале координат^[7][8]:

${\displaystyle A=\{w\in \mathbb {E} ^{2}\colon \,r<|w|<R,\,0<r<R\}}$.

В случае комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$ кольцо ${\displaystyle A}$ с центром в начале координат можно определить следующей формулой^[7]:

${\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \colon \,r^{2}<|z|^{2}<R^{2}\}.}$

В случае вещественной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}(x,\,y)}$ кольцо ${\displaystyle S}$ с центром в начале координат можно определить формулой

${\displaystyle A=\{(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon \,r^{2}<x^{2}+y^{2}<R^{2}\},}$

причём граница этого кольца состоит из двух следующих окружностей^[9]:

${\displaystyle A_{r}=\{(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}=r^{2}\},}$

${\displaystyle A_{R}=\{(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}=R^{2}\}.}$

Связанные понятия

Пусть дано кольцо ${\displaystyle r<|w|<R}$. Внешняя окружность кольца — внешняя граница кольца, окружность радиуса ${\displaystyle R}$. Внутренняя окружность кольца — внутренняя граница кольца, окружность радиуса ${\displaystyle r}$^[10]. Внешний радиус кольца — радиус внешней окружности ${\displaystyle R}$. Внутренний радиус кольца — радиус внутренней окружности ${\displaystyle r}$. Внешний диаметр кольца — удвоенный внешний радиус ${\displaystyle D=2R}$. Внутренний диаметр кольца — удвоенный внутренний радиус ${\displaystyle d=2r}$. Средний радиус кольца — среднее арифметическое внешнего и внутреннего радиусов ${\displaystyle {\bar {r}}={\frac {R+r}{2}}}$. Ширина кольца — разность внешнего и внутреннего радиусов ${\displaystyle \Delta r=R-r}$^[11].

Площадь кольца

Площадь кольца, ограниченного внешней окружностью радиуса ${\displaystyle R}$ и внутренней окружностью радиуса ${\displaystyle r}$, определяется как разность площадей кругов с внешним радиусом и внутренним радиусом^[11][10]:

${\displaystyle S=\pi (R^{2}-r^{2})={\frac {\pi }{4}}(D^{2}-d^{2})}$.

Площадь кольца удобно выразить через его ширину и средний радиус по следующей формуле^[11]:

${\displaystyle S=\pi (R^{2}-r^{2})=\pi (R+r)(R-r)=2\pi {\frac {R+r}{2}}(R-r)=2\pi {\bar {r}}\Delta r}$.

Вычисление площади кольца

Площадь кольца также может быть вычислена путём умножения числа пи на квадрат половины длины самого большого отрезка, лежащего внутри кольца. Это можно доказать через теорему Пифагора — такой отрезок будет являться касательной к кругу меньшего радиуса. Половина длины отрезка с радиусами r и R образуют прямоугольный треугольник. Другими словами, площадь кольца равна площади круга с диаметром, равным этому отрезку^[12].

Случай тонкого кольца. Имеется тонкое кольцо внутренним радиусом ${\displaystyle r}$, внешним радиусом ${\displaystyle R}$ и шириной кольца ${\displaystyle \Delta r=R-r}$. Если ${\displaystyle \Delta r}$ очень мало, то есть ${\displaystyle \Delta r\ll r}$, то площадь такого тонкого кольца приближённо равна ${\displaystyle 2\pi r\Delta r}$ или ${\displaystyle 2\pi R\Delta r}$. Другими словами, площадь тонкого кольца приближённо равна произведению длины его внутренней или внешней окружности на толщину кольца^[13][10].

Доказательство. Пусть ${\displaystyle R=r+\Delta r}$ (случай ${\displaystyle r=R-\Delta r}$ аналогичен) и выпишем с этой заменой величину площади тонкого кольца, получим^[10]:

${\displaystyle S=\pi ((r+\Delta r)^{2}-r^{2})=\pi (r^{2}+2r\Delta r+(\Delta r)^{2}-r^{2})=}$

${\displaystyle =\pi (2r\Delta r+(\Delta r)^{2})\approx 2\pi r\Delta r}$.

В комплексном анализе

Кольцо ${\displaystyle \mathrm {ann} (a;r,R)}$ на комплексной плоскости определяется следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {ann} (a;r,R)=\{\,z\in \mathbb {C} \mid r<|z-a|<R\,\}.}$

Кольцо является открытым множеством Если r равно 0, область называется проколотым диском радиуса R вокруг точки a.

Как подмножество комплексной плоскости кольцо может рассматриваться в качестве Римановой поверхности. Комплексная структура кольца зависит только от отношения r/R. Каждое кольцо ann(a; r, R) может быть голоморфно отображено в расположенное в начале координат стандартное кольцо с внешним радиусом 1 с помощью отображения:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {z-a}{R}}.}$

Внутренний радиус тогда будет r/R < 1.

Кольцевая область

Кольцевая область

Кольцева́я о́бласть — обобщение понятия геометрического кольца, двусвязная область плоскости, заключённая между двумя замкнутыми жордановыми кривыми, не имеющими общих точек, причём одна кривая охватывает другую^[4].

Использование понятия кольца

Ряд Лорана

Основная статья: Ряд Лорана

Круговое кольцо сходимости ряда Лорана

Ряд Лорана (или разложение Лорана^[14][15]) комплексной функции в кольце — понятие комплексного анализа, раздела математики, представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями^[16].

Ряд Лорана можно понимать как обобщение некоторого ряда комплексной функции в окрестности точки ${\displaystyle z=z_{0}}$, расположенного либо только по целым неотрицательным степеням разности комплексных чисел ${\displaystyle z-z_{0}}$ (степенного ряда), либо только по по целым неположительным степеням ${\displaystyle z-z_{0}}$ в следующем виде^{[17][18][19][20]}:

${\displaystyle \sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}=\sum \limits _{k=0}^{+\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}+\sum \limits _{k=-1}^{-\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}=}$

${\displaystyle =c_{0}+c_{1}(z-z_{0})+c_{2}(z-z_{0})^{2}+\cdots +{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}+{\frac {c_{-2}}{(z-z_{0})^{2}}}+\cdots }$.

Ряд Лорана сходится в круговом кольце^[21]. Но множество точек сходимости ряда Лорана может быть больше открытого кольца на некоторое множество точек его границы^[22].

Неравенство Коши для аналитической функции

Неравенства Коши. ${\displaystyle c_{k}}$ — коэффициент ряда Тейлора функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$, ${\displaystyle M}$ — максимум модуля функции на окружности с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle R}$

Основная статья: Неравенство Коши для аналитической функции

Неравенство Коши — понятие комплексного анализа, раздела математики, неравенство в фиксированной точке комплексной плоскости для модуля производной аналитической функции или для модуля коэффициента разложения этой функции в степенной ряд или в ряд Лорана^{[23][24][25][26]}.

Значение неравенств Коши, играющих существенную роль в теории функций комплексного переменного, состоит в том, что они оценивают производные аналитических функций, хотя и завышенные, используя лишь значение максимума модуля функции^[27].

Теорема (неравенство Коши). Если аналитическая функция в замкнутом круге радиуса ${\displaystyle R}$ (в открытом кольце) комплексной плоскости имеет максимум ${\displaystyle M}$ своего модуля на границе круга — окружности радиуса ${\displaystyle R}$ (соответственно на любой концентрической окружности радиуса ${\displaystyle R}$ открытого кольца), то модуль любой ${\displaystyle k}$-й производной не превышает числа ${\displaystyle {\frac {Mk!}{R^{k}}}}$ в центре круга (соответственно в любой точке указанной окружности), а ${\displaystyle k}$-й коэффициент ряда Тейлора функции (соответственно ряда Лорана функции) не превышает числа ${\displaystyle {\frac {M}{R^{k}}}}$ в центре круга (соответственно в любой точке указанной окружности)[23][24][25][26].

Теорема Адамара о трёх кругах

Основная статья: Теорема Адамара о трёх кругах

В комплексном анализе теорема Адамара о трёх кругах описывает поведение голоморфной функции.

Пусть ${\displaystyle f}$ аналитична в кольце ${\displaystyle r_{1}\leqslant |z|\leqslant r_{3}}$. Тогда, если определить вспомогательную функцию ${\displaystyle M(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|}$, то при ${\displaystyle r_{1}<r_{2}<r_{3}}$ будем иметь выполнение неравенства

${\displaystyle \log \left({\frac {r_{3}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{2})\leqslant \log \left({\frac {r_{3}}{r_{2}}}\right)\log M(r_{1})+\log \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{3})}$