Последовательность Люка

Не следует путать с числами Люка — одним из видов последовательностей Люка.

Последовательность Люка — числовая последовательность из семейства пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка — ${\displaystyle \{U_{n}(P,Q)\}}$ и ${\displaystyle \{V_{n}(P,Q)\}}$, удовлетворяющие одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$:

${\displaystyle U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geqslant 0}$,

${\displaystyle V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geqslant 0}$.

Среди последовательностей Люка — числа Фибоначчи (${\displaystyle \{U_{n}(1,-1)\}}$) и числа Люка ( (${\displaystyle \{V_{n}(1,-1)\}}$). Некоторые другие последовательности Люка с собственными наименованиями:

• ${\displaystyle \{U_{n}(2,-1)\}}$ — числа Пелля
• ${\displaystyle \{V_{n}(2,-1)\}}$ — числа Пелля — Люка
• ${\displaystyle \{U_{n}(3,2)\}}$ — числа Мерсенна
• ${\displaystyle \{V_{2^{n}}(3,2)\}}$ — числа Ферма
• ${\displaystyle \{U_{n}(1,-2)\}}$ — числа Якобшталя
• ${\displaystyle \{U_{n}(2x,1)\}}$ — многочлены Чебышёва второго рода
• ${\displaystyle \{V_{n}(2x,1)\}}$ — многочлены Чебышёва первого рода умноженные на 2

Задание и свойства

Характеристическим многочленом последовательностей Люка ${\displaystyle \{U_{n}(P,Q)\}}$ и ${\displaystyle \{V_{n}(P,Q)\}}$ является ${\displaystyle x^{2}-P\cdot x+Q}$. Его дискриминант ${\displaystyle D=P^{2}-4Q}$ предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена:

${\displaystyle \alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}}$ и ${\displaystyle \beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}}$

можно использовать для получения явных формул:

${\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}}$

и

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}}$.

Формулы Виета позволяют также выразить ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ в виде:

${\displaystyle P=\alpha +\beta }$,

${\displaystyle Q=\alpha \cdot \beta }$.

Дискриминант ${\displaystyle D}$ обращается в нуль при ${\displaystyle P=2S,Q=S^{2}}$ для некоторого числа ${\displaystyle S}$. При этом выполняется ${\displaystyle \alpha =\beta =S}$ и соответственно:

${\displaystyle U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1}}$,

${\displaystyle V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}}$.

Некоторые свойства:

${\displaystyle DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n}}$

${\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}}$

${\displaystyle U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n}}{2}}}$

${\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}}$

${\displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n}={\frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P}}}$

${\displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}}$

${\displaystyle U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P&-Q\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}U_{n+1}&-QU_{n}\\U_{n}&-QU_{n-1}\end{pmatrix}}}$

Литература

• В. П. Паламодов. О многочленах, образующих возвратную последовательность 2-го порядка // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1957. — Вып. 1. — С. 139—147.
• Грант Аракелян.  Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014. — 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.