Число Пелля

Число Пелля — целое число, входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается следующим образом: ${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},\dots }$, то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82.

Обе последовательности, числа Пелля и сопутствующие числа Пелля, могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения, похожего на формулы для чисел Фибоначчи, и обе последовательности чисел растут экспоненциально, пропорционально степени серебряного сечения ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$.

Кроме использования в цепной дроби приближений к квадратному корню из двух, числа Пелля могут быть использованы для поиска квадратных треугольных чисел и для решения некоторых комбинаторных задач перечисления^[1].

Последовательность чисел Пелля известна с древних времен. Как и уравнение Пелля, числа Пелля ошибочно приписаны Леонардом Эйлером Джону Пеллю. Числа Пелля — Люка названы в честь Эдуарда Люка, который изучал эти последовательности. И числа Пелля, и сопутствующие числа Пелля, являются частными случаями последовательностей Люка.

Числа Пелля

Числа Пелля задаются линейным рекуррентным соотношением:

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\1,n=1\\2P_{n-1}+P_{n-2},n>1\end{cases}}}$

и являются частным случаем последовательности Люка.

Первые несколько чисел Пелля^[2]:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13 860, 33 461, 80 782, 195 025, 470 832, 1 136 689, 2 744 210, 6 625 109, 15 994 428, 38 613 965, 93 222 358, 225 058 681, 543 339 720, 1 311 738 121, 3 166 815 962, 7 645 370 045, 18 457 556 052, 44 560 482 149, 107 578 520 350, 259 717 522 849, …

Числа Пелля можно выразить формулой:

${\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}}$.

Для больши́х значений ${\displaystyle n}$ член ${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}$ доминирует в этом выражении, так что числа Пелля примерно пропорциональны степеням серебряного сечения ${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})}$, аналогично тому, как числа Фибоначчи примерно пропорциональны степеням золотого сечения.

Возможно и третье определение — в виде матричной формулы:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}}$.

Многие тождества могут быть доказаны из этих определений, например тождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи:

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n}}$,

как непосредственное следствие матричной формулы (подставляя определители матриц слева и справа).

Приближение к квадратному корню из двух

Рациональное приближение к правильным восьмиугольникам, с координатами из чисел Пелля

Числа Пелля возникли исторически из рациональных приближений к квадратному корню из 2. Если два больших целых ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ дают решение уравнения Пелля:

${\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1}$,

то их отношение ${\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}$ даёт близкое приближение к ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$. Последовательность приближений этого вида:

${\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$,

где знаменатель каждой дроби — число Пелля, а числитель равен сумме числа Пелля и его предшественника в последовательности. Таким образом, приближения имеют вид ${\displaystyle {\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}}$.

Приближение:

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

было известно математикам Индии в III—IV столетии до нашей эры. Платон ссылается на числители как «рациональные диаметры»^[3]. Во втором столетии нашей эры Теон Смирнский использовал термины «сторона и диаметр» для описания знаменателя и числителя этой последовательности^[4].

Эти приближения могут быть получены из цепной дроби ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Конечная часть цепной дроби даёт аппроксимацию в виде чисел Пелля. Например:

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}}$.

Как писал Кнут (1994), факт приближения числами Пелля ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ позволяет использовать их для рационального приближения к правильному восьмиугольнику с координатами вершин ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i+1})}$ и ${\displaystyle (\pm P_{i+1},\pm P_{i})}$. Все вершины этого восьмиугольника одинаково удалены от центра и формируют почти одинаковые углы. Также точки ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$, ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$ и ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$ формируют восьмиугольник, у которого вершины почти одинаково удалены от центра и формируют одинаковые углы.

Простые и квадраты

Простым числом Пелля называется число Пелля, являющееся также простым. Несколько первых простых чисел Пелля^[5]:

2, 5, 29, 5741, 33 461, 44 560 482 149, 1 746 860 020 068 409, 68 480 406 462 161 290 000, 13 558 774 610 046 710 000 000, 4 125 636 888 562 549 000 000 000 000 000 000, 4 760 981 394 323 204 000 000 000 000 000 000 000, …

Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелля ${\displaystyle P_{n}}$ может быть простым только если ${\displaystyle n}$ само просто.

Имеется всего три числа Пелля, являющимися квадратами, кубами и другими более высокими степенями, — это 0, 1 и 169 = 13^2[6].

Несмотря на то, что имеется столь мало квадратов и других степеней среди чисел Пелля, они имеют близкую связь с квадратными треугольными числами^[7]. Эти числа возникают из следующего тождества:

${\displaystyle {\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

Левая часть этого тождества даёт квадратное число, в то время как правая часть даёт треугольное число, так что в результате получим квадратное треугольное число.

Сантана (Santana) и Диац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) доказали другое тождество, связывающее числа Пелля с квадратами, показав, что сумма чисел Пелля до ${\displaystyle P_{4n+1}}$ всегда квадрат:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P_{2n}+P_{2n+1})^{2}.}$

Например, сумма чисел Пелля до ${\displaystyle P_{5}}$, ${\displaystyle 0+1+2+5+12+29=49}$, является квадратом числа ${\displaystyle P_{2}+P_{3}=2+5=7}$.

Числа ${\displaystyle P_{2n}+P_{2n+1}}$, образующие квадратные корни таких сумм,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47 321, 275 807, 1 607 521, 9 369 319, 54 608 393, 318 281 039, 1 855 077 841, 10 812 186 007, 63 018 038 201, 367 296 043 199, 2 140 758 220 993, 12 477 253 282 759, 72 722 761 475 561, 423 859 315 570 607, 2 470 433 131 948 081, 14 398 739 476 117 880, 83 922 003 724 759 200, … (последовательность A002315 в OEIS),

известны как простые числа Ньюмена — Шэнкса — Уильямса.

Пифагоровы тройки

Прямоугольные треугольники с почти равными катетами и целочисленными координатами, порождённые числами Пелля.

Если прямоугольный треугольник имеет стороны a, b, c (по теореме Пифагора a²+b²=c²), то (a,b,c) известны как пифагоровы тройки. Мартин (Martin) (1875) пишет, что числа Пелля могут быть использованы для формирования пифагоровых троек, в которых a и b отличаются на единицу, что соответствует почти равнобедренному прямоугольному треугольнику. Каждая такая тройка имеет вид

${\displaystyle (2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).}$

Последовательность пифагоровых троек, полученного таким способом

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Числа Пелля — Люка

Сопутствующие числа Пелля или числа Пелля — Люка определяются линейным рекуррентным соотношением:

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2,n=0\\2,n=1\\2Q_{n-1}+Q_{n-2},n>1\end{cases}}}$

То есть, первые два числа в последовательности равны 2, а все остальные формируются как сумма удвоенного предыдущего числа Пелля — Люка и предшествующего ему, или, что эквивалентно, сложением следующего числа Пелля и предыдущего числа. Так, сопровождающим для 82 является число 29, и 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.

Сопутствующие числа Пелля образуют последовательность^[8]:

2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, 16 238, 39 202, 94 642, 228 486, 551 614, 1 331 714, 3 215 042, 7 761 798, 18 738 638, 45 239 074, 109 216 786, 263 672 646, 636 562 078, 1 536 796 802, 3 710 155 682, 8 957 108 166, 21 624 372 014, 52 205 852 194, 126 036 076 402, 304 278 004 998, …

Сопутствующие числа Пелля можно выразить формулой:

${\displaystyle Q_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}$.

Все эти числа чётны, каждое из них является удвоенным числителем в приближении рациональными числами к ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$.

Вычисления и связи

Следующая таблица даёт несколько первых степеней серебряного сечения ${\displaystyle \delta =\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}}$ и связанного с ним ${\displaystyle {\bar {\delta }}=1-{\sqrt {2}}}$.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}$	${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}}$
0	${\displaystyle 1+0{\sqrt {2}}=1.0}$	${\displaystyle 1-0{\sqrt {2}}=1.0}$
1	${\displaystyle 1+1{\sqrt {2}}=2.41421\ldots }$	${\displaystyle 1-1{\sqrt {2}}=-0.41421\ldots }$
2	${\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}=5.82842\ldots }$	${\displaystyle 3-2{\sqrt {2}}=0.17157\ldots }$
3	${\displaystyle 7+5{\sqrt {2}}=14.07106\ldots }$	${\displaystyle 7-5{\sqrt {2}}=-0.07106\ldots }$
4	${\displaystyle 17+12{\sqrt {2}}=33.97056\ldots }$	${\displaystyle 17-12{\sqrt {2}}=0.02943\ldots }$
5	${\displaystyle 41+29{\sqrt {2}}=82.01219\ldots }$	${\displaystyle 41-29{\sqrt {2}}=-0.01219\ldots }$
6	${\displaystyle 99+70{\sqrt {2}}=197.99494\ldots }$	${\displaystyle 99-70{\sqrt {2}}=0.00505\ldots }$
7	${\displaystyle 239+169{\sqrt {2}}=478.00209\ldots }$	${\displaystyle 239-169{\sqrt {2}}=-0.00209\ldots }$
8	${\displaystyle 577+408{\sqrt {2}}=1153.99913\ldots }$	${\displaystyle 577-408{\sqrt {2}}=0.00086\ldots }$
9	${\displaystyle 1393+985{\sqrt {2}}=2786.00035\ldots }$	${\displaystyle 1393-985{\sqrt {2}}=-0.00035\ldots }$
10	${\displaystyle 3363+2378{\sqrt {2}}=6725.99985\ldots }$	${\displaystyle 3363-2378{\sqrt {2}}=0.00014\ldots }$
11	${\displaystyle 8119+5741{\sqrt {2}}=16238.00006\ldots }$	${\displaystyle 8119-5741{\sqrt {2}}=-0.00006\ldots }$
12	${\displaystyle 19601+13860{\sqrt {2}}=39201.99997\ldots }$	${\displaystyle 19601-13860{\sqrt {2}}=0.00002\ldots }$
13	${\displaystyle 47321+33461{\sqrt {2}}=94642.00001\ldots }$	${\displaystyle 47321-33461{\sqrt {2}}=-0.00001\ldots }$
14	${\displaystyle 114243+80782{\sqrt {2}}=228425.99999\ldots }$	${\displaystyle 114243-80782{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$
15	${\displaystyle 275807+195025{\sqrt {2}}=551614.00000\ldots }$	${\displaystyle 275807-195025{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$
16	${\displaystyle 665857+470832{\sqrt {2}}=1331713.99999\ldots }$	${\displaystyle 665857-470832{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$
17	${\displaystyle 1607521+1136689{\sqrt {2}}=3215042.00000\ldots }$	${\displaystyle 1607521-1136689{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$
18	${\displaystyle 3880899+2744210{\sqrt {2}}=7761797.99999\ldots }$	${\displaystyle 3880899-2744210{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$
19	${\displaystyle 9369319+6625109{\sqrt {2}}=18738638.00000\ldots }$	${\displaystyle 9369319-6625109{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$
20	${\displaystyle 22619537+15994428{\sqrt {2}}=45239073.99999\ldots }$	${\displaystyle 22619537-15994428{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$
21	${\displaystyle 54608393+38613965{\sqrt {2}}=109216786.00000\ldots }$	${\displaystyle 54608393-38613965{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$
22	${\displaystyle 131836323+93222358{\sqrt {2}}=263672645.99999\ldots }$	${\displaystyle 131836323-93222358{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$
23	${\displaystyle 318281039+225058681{\sqrt {2}}=636563678.00000\ldots }$	${\displaystyle 318281039-225058681{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$
24	${\displaystyle 768398401+543339720{\sqrt {2}}=1536796801.99999\ldots }$	${\displaystyle 768398401-543339720{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$
25	${\displaystyle 1855077841+1311738121{\sqrt {2}}=3710155682.00000\ldots }$	${\displaystyle 1855077841-1311738121{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$
26	${\displaystyle 4478554083+3166815962{\sqrt {2}}=8957108165.99999\ldots }$	${\displaystyle 4478554083-3166815962{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$
27	${\displaystyle 10812186007+7645370045{\sqrt {2}}=21624372014.00000\ldots }$	${\displaystyle 10812186007-7645370045{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$
28	${\displaystyle 26102926097+18457556052{\sqrt {2}}=52205852193.99999\ldots }$	${\displaystyle 26102926097-18457556052{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$
29	${\displaystyle 63018038201+44560482149{\sqrt {2}}=126036076402.00000\ldots }$	${\displaystyle 63018038201-44560482149{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$
30	${\displaystyle 152139002499+107578520350{\sqrt {2}}=304278004997.99999\ldots }$	${\displaystyle 152139002499-107578520350{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$
31	${\displaystyle 367296043199+259717522849{\sqrt {2}}=734592086398.00000\ldots }$	${\displaystyle 367296043199-259717522849{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$
32	${\displaystyle 886731088897+627013566048{\sqrt {2}}=1773462177793.99999\ldots }$	${\displaystyle 886731088897-627013566048{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$

Коэффициенты представляют собой половины сопутствующих чисел Пелля ${\displaystyle H_{n}}$ и числа Пелля ${\displaystyle P_{n}}$, являющиеся неотрицательными решениями уравнения ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=\pm 1}$.

Квадратное треугольное число — это число ${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$, которое является как ${\displaystyle t}$-м треугольным числом так и ${\displaystyle s}$-м квадратным. Почти равнобедеренные пифагоровы тройки являются целыми решениями ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, где ${\displaystyle a+1=b}$.

Следующая таблица показывает разложение нечетных ${\displaystyle H_{n}}$ на две почти одинаковые половинки, дающее квадратное треугольное число когда n четно и почти равнобедренную пифагорову тройку, когда n нечетно.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle H_{n}}$	${\displaystyle P_{n}}$	t	t+1	s	a	b	c
0	1	0	0	0	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930
13	47321	33461				23660	23661	33461
14	114243	80782	57121	57122	40391
15	275807	195025				137903	137904	195025
16	665857	470832	332928	332929	235416
17	1607521	1136689				803760	803761	1136689
18	3880899	2744210	1940449	1940450	1372105
19	9369319	6625109				4684659	4684660	6625109
20	22619537	15994428	11309768	11309769	7997214
21	54608393	38613965				27204196	27204197	38613965
22	131836323	93222358	65918161	65918162	46611179
23	318281839	225058681				159140919	159140920	225058681
24	768398401	543339720	384199200	384199201	271669860
25	1855077841	1311738121				927538920	927538921	1311738121
26	4478554083	3166815962	2239277041	2239277042	1583407981
27	10812186007	7645370045				5406093003	5406093004	7645370045
28	26102926097	18457556052	13051463048	13051463049	9228778026
29	63018038201	44560482149				31509019100	31509019101	44560482149
30	152139002499	107578520350	76069501249	76069501250	53759260175
31	367296043199	259717522849				183648021599	183648021600	259717522849
32	886731088897	627013566048	443365544448	443365544449	313506783024

Определения

Половины сопутствующих чисел Пелля ${\displaystyle H_{n}}$ и числа Пелля ${\displaystyle P_{n}}$ могут быть получены несколькими эквивалентными путями:

Возведение в степень:

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

Откуда следует:

${\displaystyle H_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}$

и

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}$

Парные рекуррентные отношения:

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1,n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1},n>0\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1},n>0\end{cases}}}$

или, в матричном виде:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Таким образом

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

Приближения

Разность ${\displaystyle H_{n}}$ и ${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}}$ равна ${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}\approx (-0.41421)^{n}}$, что быстро стремится к нулю. Таким образом ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$ очень близко к ${\displaystyle 2H_{n}}$.

Из этого наблюдения следует, что отношение целых ${\displaystyle {\frac {H_{n}}{P_{n}}}}$ быстро приближается к ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ в то время как ${\displaystyle {\frac {H_{n}}{H_{n-1}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}}$ быстро приближается к ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$.

H² − 2P² = ±1

Поскольку ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ является иррациональным, мы не можем получить ${\displaystyle {\frac {H}{P}}=2}$, то есть ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}}$. Лучшее, что мы можем получить, это либо ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}}$ либо ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}}$.

Неотрицательными решениями ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=1}$ являются пары ${\displaystyle H_{n},P_{n}}$ с четным n, и решениями ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=-1}$ являются пары ${\displaystyle H_{n},P_{n}}$ с n нечетным.

Чтобы понять это, заметим

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=(H_{n}+2P_{n})^{2}-2(H_{n}+P_{n})^{2}=-(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2})}$

так что, начиная с ${\displaystyle H_{0}^{2}-2P_{0}^{2}=1}$ знак чередуется (${\displaystyle 1,-1}$). Заметим теперь, что каждое положительное решение можно получить из решения с меньшим индексом благодаря равенству ${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-(H^{2}-2P^{2})}$.

Квадратные треугольные числа

Основная статья: Квадратное треугольное число

Требуемое равенство ${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$ эквивалентно ${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1}$, что превращается в ${\displaystyle H^{2}=2P^{2}+1}$ при подстановке ${\displaystyle H=2t+1}$ и ${\displaystyle P=2s}$. Отсюда n-м решением будет ${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}}$ и ${\displaystyle s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

Заметим, что ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle t+1}$ взаимно просты, так что ${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$ возможно только тогда, когда они являются соседними целыми, одно — квадрат ${\displaystyle H^{2}}$ и другое — удвоенный квадрат ${\displaystyle 2P^{2}}$. Поскольку мы знаем все решения уравнения, мы получаем

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&n\equiv 0{\pmod {2}}\\H_{n}^{2}&n\equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}}$

и ${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle H_{n}}$	${\displaystyle P_{n}}$		t	t+1	s		a	b	c
0	1	0
1	1	1		1	2	1		1	0	1
2	3	2		8	9	6		3	4	5
3	7	5		49	50	35		21	20	29
4	17	12		288	289	204		119	120	169
5	41	29		1681	1682	1189		697	696	985
6	99	70		9800	9801	6930		4059	4060	5741
7	239	169		57121	57122	40391		23660	23661	33461
8	577	408		332928	332929	235416		137903	137904	195025
9	1393	985		1940449	1940450	1372105		803760	803761	1136689
10	3363	2378		11309768	11309769	7997214		4684659	4684660	6625109
11	8119	5741		65918161	65918162	46611179		27204196	27204197	38613965
12	19601	13860		384199200	384199201	271669860		159140919	159140920	225058681
13	47321	33461		2239277041	2239277042	1583407981		927538920	927538921	1311738121
14	114243	80782		13051463048	13051463049	9228778026		5406093003	5406093004	7645370045
15	275807	195025		76069501249	76069501250	53759260175		31509019100	31509019101	44560482149
16	665857	470832		443365544448	443365544449	313506783024		183648021599	183648021600	259717522849

Триплеты Пифагора

Равенство ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+(a+1)^{2}=2a^{2}+2a+1}$ верно только при ${\displaystyle 2c^{2}=4a^{2}+4a+2}$, что превращается в ${\displaystyle 2P^{2}=H^{2}+1}$ при подстановке ${\displaystyle H=2a+1{\mbox{ and }}P=c}$. Тогда n-м решением является ${\displaystyle a_{n}={\frac {H_{2n+1}-1}{2}}}$ и ${\displaystyle c_{n}={P_{2n+1}}.}$

Таблица выше показывает, что с точностью до порядка ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}=a_{n}+1}$ равны ${\displaystyle H_{n}H_{n+1}}$ и ${\displaystyle 2P_{n}P_{n+1}}$ , в то время как ${\displaystyle c_{n}=H_{n+1}P_{n}+P_{n+1}H_{n}.}$