Потенциал Пёшль — Теллера

Потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии электростатического поля, предложенная венгерскими физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером^[1] как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе. Потенциал имеет вид

${\displaystyle U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left({\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)}$

на промежутке ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant \pi /(2a)}$, на границе которого он обращается в бесконечность. Параметры удовлетворяют условиям ${\displaystyle \varkappa >1}$ и ${\displaystyle \lambda >1}$. Иногда потенциалом Пёшль — Теллера называют модифицированный потенциал Пёшль — Теллера.

График потенциала Пёшль — Теллера с фиксированным параметром ${\displaystyle \lambda =3}$ и различными значениями ${\displaystyle \varkappa }$

Уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера

Стационарное уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left({\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x).}$

Если ввести обозначение ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$, то оно примет вид:

${\displaystyle \Psi ''(x)+\left(k^{2}-a^{2}{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}-a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)\Psi (x)=0.}$

После замены переменных

${\displaystyle y=\sin ^{2}ax}$

получим

${\displaystyle y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)+{\frac {1}{4}}\left({\frac {k^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{y}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{1-y}}\right)\Psi (y)=0.}$

Так как точки 0 и 1 являются особыми, то естественно представить решение в виде:

${\displaystyle \Psi (y)=y^{\mu }(1-y)^{\nu }f(y)}$

Если выбрать

${\displaystyle \mu ={\frac {\varkappa }{2}},\qquad \nu ={\frac {\lambda }{2}},}$

то уравнение приведётся к гипергеометрическому виду:

${\displaystyle y(1-y)f''(y)+\left(\left(\varkappa +{\frac {1}{2}}\right)-y\left(\varkappa +\lambda +1\right)\right)f'(y)+{\frac {1}{4}}\left({\frac {\varkappa ^{2}}{a^{2}}}+(\varkappa +\lambda )^{2}\right)f(y)=0.}$

Общее решение данного уравнения может быть выражено через гипергеометрические функции:

${\displaystyle f(y)=C_{1}\;_{2}F_{1}(a,b;c;y)+C_{2}y^{1-c}\;_{2}F_{1}(a+1-c,b+1-c;2-c;y),}$

где введены обозначения:

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left(\varkappa +\lambda +{\frac {k}{a}}\right),\quad b={\frac {1}{2}}\left(\varkappa +\lambda -{\frac {k}{a}}\right),\quad c=\varkappa +{\frac {1}{2}}.}$

Если учесть граничные условия:

${\displaystyle \Psi (0)=\Psi (1)=0,}$

то получим собственные функции

${\displaystyle \Psi _{n}(x)=C_{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_{1}(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2}};\sin ^{2}ax),}$

где константа вычисляется с учётом нормировки:

${\displaystyle C_{1}=\left(\int \limits _{0}^{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_{1}(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2}};\sin ^{2}ax)dx\right)^{-{\frac {1}{2}}}.}$

Соответствующие уровни энергии равны:

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\varkappa +\lambda +2n)^{2},\quad n\in \mathbb {Z} _{+}.}$