Поток Риччи

Термин «Риччи» имеет также другие значения.

Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности.

Назван по аналогии с кривизной Риччи, в честь итальянского математика Риччи-Курбастро.

Уравнение

Уравнение потока Риччи имеет вид:

${\displaystyle \partial _{t}g_{t}=-2\cdot \mathrm {Rc} _{t}.}$

где ${\displaystyle g_{t}}$ обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра ${\displaystyle t}$), и ${\displaystyle \mathrm {Rc} _{t}}$ — её тензор Риччи.

Свойства

• Формально говоря, система уравнений ${\displaystyle R}$, задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений ${\displaystyle R'}$, предложенная Детурком, такая, что если ${\displaystyle g_{0}}$ риманова метрика на компактном многообразии ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle g_{t}}$, ${\displaystyle g'_{t}}$ — решения систем ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle R'}$, то ${\displaystyle (M,\;g_{t})}$ изометрично ${\displaystyle (M,\;g_{t}')}$ для всех ${\displaystyle t}$.
  • Эта конструкция существенно упростила доказательство существования решения, она называется «трюком Детурка».
• Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при ${\displaystyle t=0}$, можно получить решения лишь в одну сторону по ${\displaystyle t}$, а именно ${\displaystyle t\geqslant 0}$.
• В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при ${\displaystyle t\to \infty }$. Решение продолжается на максимальный интервал ${\displaystyle [0,\;T)}$. В случае если ${\displaystyle T}$ конечно, при приближении к ${\displaystyle T}$ кривизна многообразия идёт к бесконечности, и в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона.
• Псевдолокальность — если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи у меньшей окрестности.

Изменение геометрических характеристик

• Для объёма ${\displaystyle \mathrm {vol} _{t}}$ метрики ${\displaystyle g_{t}}$ верно соотношение

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).}$

• Для скалярной кривизны ${\displaystyle \mathrm {R} _{t}}$ метрики ${\displaystyle g_{t}}$ верно соотношение

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {R} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}}$

где ${\displaystyle |\mathrm {Rc} _{t}|^{2}}$ определяется как ${\displaystyle \sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j}))^{2}}$ для ортонормированного репера ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ в точке.

• В частности, согласно принципу максимума, поток Риччи сохраняет положительность скалярной кривизны.
• Более того, нижняя грань скалярной кривизны не убывает.

• Для каждого ${\displaystyle g_{0}}$-ортонормированного репера ${\displaystyle \{e^{i}\}}$ в точке ${\displaystyle x\in M}$ существует так называемый сопутствующий ${\displaystyle g_{t}}$-ортонормированный репер ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\}}$. Для тензора кривизны ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t}}$, записанного в этом базисе, верно соотношение

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {Rm} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _{t},\mathrm {Rm} _{t}),}$

где ${\displaystyle Q}$ — определённая билинейная квадратичная форма на пространстве тензоров кривизны и со значениями в них.

• Билинейная квадратичная форма ${\displaystyle Q}$ определяет векторное поле на векторном пространстве тензоров кривизны — каждому тензору кривизны ${\displaystyle x}$ приписывается другой тензор кривизны ${\displaystyle v_{x}=Q(x,x)}$. Решения ОДУ

${\displaystyle {\dot {x}}=v_{x}}$

играют важную роль в теории потоков Риччи.

• Выпуклые множества ${\displaystyle K}$ в пространстве тензоров кривизны, инвариантные относительно вращений и такие, что если в приведённом ОДУ ${\displaystyle x(0)\in K}$, то ${\displaystyle x(t)\in K}$ при ${\displaystyle t\geq 0}$, называются инвариантными для потока Риччи. Если кривизна римановой метрики на замкнутом многообразии в каждой точке принадлежит такому ${\displaystyle K}$, то тоже верно и для метрик, получаемых из неё потоком Риччи. Рассуждения такого сорта называются «принципом максимума» для потока Риччи.

• К инвариантным множествам относятся

• Тензоры кривизны с положительной скалярной кривизной
• Тензоры кривизны с положительным оператором кривизны
• В трёхмерном случае, тензоры кривизны с положительной кривизной Риччи

Размерность 3

В случае, когда размерность пространства равна 3, для каждого ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle t}$ можно подобрать репер ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\}}$, в котором ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t}}$ диагонализуется в базисе ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}}$, ${\displaystyle e_{2}\wedge e_{3}}$, ${\displaystyle e_{3}\wedge e_{1}}$, скажем,

${\displaystyle \mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix}}.}$

Тогда

${\displaystyle Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.}$

История

Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x годов. С помощью потоков Риччи были доказаны несколько гладких теорем о сфере.

Используя потоки Риччи в своих статьях^[1], опубликованных в 2002-2003 годах, Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.^[2]