Псевдолокальность потока Риччи

Псевдолокальность — одно из свойств потока Риччи, которое качественно отличает его от линейных потоков, например, от уравнения теплопроводности. Свойство утверждает, что если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи для меньшей окрестности.

Псевдолокальность потока Риччи была доказана Перельманом.^[1]

Формулировка

Для положительного целого ${\displaystyle n}$ существуют ${\displaystyle \delta ,\varepsilon >0}$ такие, что выполняется следующее утверждение.

• Пусть ${\displaystyle M}$ компактное ${\displaystyle n}$-мерное многообразие и ${\displaystyle g_{t}}$ решение потока Риччи на ${\displaystyle M}$ определённое во временном интервале ${\displaystyle [0,\varepsilon ^{2}]}$. Предположим для некоторой точки ${\displaystyle x\in M}$ изопериметрическая константа в шаре ${\displaystyle B(x,1)_{g_{0}}}$ не меньше чем ${\displaystyle (1-\delta )\cdot c_{n}}$, где ${\displaystyle c_{n}}$ изопериметрическая константа ${\displaystyle n}$-мерного евклидова пространства и скалярная кривизна ${\displaystyle g_{0}}$ не меньше ${\displaystyle -1}$ везде в ${\displaystyle B(x,1)_{g_{0}}}$. Тогда

  ${\displaystyle |\mathrm {Rm} _{g_{t}}|\leq {\tfrac {1}{t}}+{\tfrac {1}{\varepsilon ^{2}}}}$

во всех точках шара ${\displaystyle B(x,\varepsilon )_{g_{t}}}$ при ${\displaystyle t\in [0,\varepsilon ^{2}]}$.