Почти простое число

Почти простое число — число, представимое в виде произведения ${\displaystyle k}$ простых чисел: ${\displaystyle p_{1}p_{2}\dots p_{k}}$ для заданной постоянной ${\displaystyle k\geqslant 1}$. Стандартное обозначение класса ${\displaystyle k}$-почти простых чисел — ${\displaystyle P_{k}}$^[1]; ${\displaystyle P_{1}}$ совпадает с классом простых чисел, ${\displaystyle P_{2}}$ — полупростых, для классов до ${\displaystyle k=20}$ ведутся записи в Энциклопедии целочисленных последовательностей^[2]. Сфенические числа — свободные от квадратов 3-почти простые числа. Произведение ${\displaystyle k_{1}}$-почти простого числа и ${\displaystyle k_{2}}$-почти простого числа — ${\displaystyle (k_{1}+k_{2})}$-почти простое число.

Основной интерес к почти простым чисел вызван тем, что для них имеют место результаты, обобщающие теорему о распределении простых чисел, в частности, в 1909 году Ландау установил^[3], что ${\displaystyle \pi _{k}(n)}$ — число ${\displaystyle k}$-почти простых чисел, меньших или равных ${\displaystyle n}$ — асимптотически стремится к:

${\displaystyle \pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}}}$.

Аналоги ряда нерешённых для простых чисел аддитивных проблем имеют решение для почти простых чисел.