Двенадцатиугольник

Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, двенадцатиугольником называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае двенадцатиугольника углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Правильный двенадцатиугольник
Углы	12
Символ Шлефли	{12} t{6}

Правильный двенадцатиугольник

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cos \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\simeq 11.196152422706632\,a^{2}.\end{aligned}}}$

Или, при радиусе описанной окружности R:

${\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.}$

Или, при радиусе вписанной окружности r:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}&\simeq 3.2153903091734737\,r^{2}.\end{aligned}}}$

Монеты

Британская монета в три пенса в форме двенадцатиугольника

Схема построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки

Правильный двенадцатиугольник, согласно теореме Гаусса — Ванцеля, относится к многоугольникам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный ${\displaystyle 2m}$-угольник (в общем случае - ${\displaystyle 2m}$-угольный зоногон) можно разбить на ${\displaystyle {\frac {m(m-1)}{2}}}$ ромбов. Для двенадцатиугольника ${\displaystyle m=6}$, так что он может быть разбит на 15 ромбов.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

См. также

• Последовательность двенадцатиугольника

Ссылки

• Двенадцатиугольник Архивная копия от 28 июля 2011 на Wayback Machine на MathWorld
• Dodecagon (12-gon) Архивная копия от 25 ноября 2010 на Wayback Machine