Вписанная окружность

Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.

Окружность, вписанная в угол

Пусть окружность с центром O вписана в угол A, то есть лежит внутри этого угла и касается его сторон в некоторых точках B и C.

Поскольку OB и OС - радиусы, проведённые к точкам касания, они равны и являются перпендикулярами, опущенными из точки O к соответствующим сторонам. Отсюда следует:

Радиус окружности, вписанной в угол, равен расстоянию от её центра до любой из сторон угла;

Центр вписанной в угол окружности равноудалён от сторон угла на расстояние радиуса;

Образующиеся треугольники ${\displaystyle \triangle CAO}$ и ${\displaystyle \triangle BAO}$ прямоугольны и равны (по общей гипотенузе OA, и равным катетам OC и OB).

Окружность, вписанная в угол

Из равенства этих треугольников следует, что:

Отрезки касательных равны: ${\displaystyle AB=AC}$;

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе: ${\displaystyle \angle CAO=\angle BAO}$.

Из прямоугольности треугольников также следует, что

Угол, в который может быть вписана окружность, должен быть меньше 180 градусов (${\displaystyle \angle A=\angle BAO+\angle CAO<90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }}$).

Через радиус ${\displaystyle r}$ и угол ${\displaystyle \alpha =\angle A}$ выражаются:

Расстояние от вершины угла до центра окружности: ${\displaystyle AO={\frac {r}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}}$;

Отрезки касательных: ${\displaystyle AB=AC={\frac {r}{\rm {{tg}{\frac {\alpha }{2}}}}}}$.

Помимо обычной тригонометрии, в данной ситуации также бывает полезной следующая формула, связывающая величину угла ${\displaystyle \alpha }$, радиус ${\displaystyle r}$ и отрезок касательной ${\displaystyle t=AB}$:

${\displaystyle e^{i\alpha }={\frac {t+ri}{t-ri}}}$,

где ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ - мнимая единица.

Доказательство

Введём прямоугольную систему координат, направив ось x вдоль луча AB, а ось y - через точку A сонаправленно отрезку BO. Тогда точка O будет иметь комплексную координату ${\displaystyle t+ir}$, и поскольку она лежит на биссектрисе угла A, то

${\displaystyle t+ir=|AO|e^{i{\frac {\alpha }{2}}}}$.

Применим комплексное сопряжение:

${\displaystyle t-ir=|AO|e^{-i{\frac {\alpha }{2}}}}$.

Деля первую формулу на вторую, получим искомое равенство.

Замечание. При использовании в геометрии комплексных чисел следует иметь в виду, что во всех формулах комплексного анализа углы всегда считаются ориентированными, а в геометрии - обычно нет, что иногда приводит к недоразумениям. Указанная выше формула применима к ориентированному углу ${\displaystyle \alpha }$, только если ${\displaystyle \sin \alpha >0}$. В противном случае ${\displaystyle \alpha }$ в формуле следует заменить на ${\displaystyle -\alpha }$.

Чтобы вписать окружность в заданный угол, нужно в качестве центра (если он не задан) выбрать любую точку на биссектрисе этого угла и опустить из неё перпендикуляры на стороны. В качестве радиуса окружности следует взять длину любого из полученных перпендикуляров. Если центр не задан, вписываемая окружность не единственна.

Окружность, вписанная в многоугольник общего вида

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае окружность обязательно находится внутри многоугольника. В ситуации, когда окружность касается всех прямых, содержащих стороны, но не самих сторон, окружность находится вне многоугольника и называется вневписанной в него. Многие свойства вписанных и вневписанных окружностей перекликаются между собой, если не совпадают полностью.

Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным около этой окружности, или, кратко - описанным.

Чтобы построить произвольный описанный n-угольник, нужно нарисовать окружность, выбрать на ней произвольно n точек, в каждой из которых провести касательную (прямую, перпендикулярную радиусу, проведённому к этой точке). Отрезки касательных, заключённые между их пересечениями с соседними касательными с каждой стороны, составят контур n-угольника, описанного около исходной окружности.

Одним из примеров n-угольника для любого n, в который можно вписать окружность, является правильный многоугольник, когда точки на окружности выбираются равномерно.

Условия существования вписанной окружности в многоугольник

Если в данный многоугольник можно вписать окружность, она будет вписана в каждый внутренний угол этого многоугольника (см. Окружность, вписанная в угол), значит, каждый внутренний угол должен быть меньше 180 градусов, что влечёт за собой выпуклость многоугольника.

Вопрос о существовании вписанной окружности в многоугольник равносилен вопросу о существовании точки, равноудалённой от всех его сторон. Такая точка, если есть, будет центром вписанной окружности, а расстояние от неё до сторон - радиусом. Поскольку окружность вписанная в многоугольник, вписана в каждый его внутренний угол, то центр окружности находится на биссектрисах всех углов этого многоугольника (то есть, на их пересечении). Верно и обратное: общая точка всех биссектрис (если она есть) равноудалена от сторон многоугольника и является центром вписанной в него окружности.

Вследствие этого, критерий существования вписанной окружности таков: в многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда все его биссектрисы пересекаются в одной точке. (Очевидно, для этого достаточно, чтобы для любых трёх последовательных углов этого многоугольника их биссектрисы пересекались в одной точке.)

Поскольку у биссектрис не может быть более одной общей точки, это означает, что вписанная в многоугольник окружность, если есть, может быть только одна. Соответственно, точек, равноудалённых от всех сторон многоугольника тоже может быть не более одной.

Только в треугольники всегда может быть вписана окружность, независимо от их конкретного вида. Для 4-угольников это уже не так: например, чтобы в прямоугольник можно было вписать окружность, он обязан быть квадратом. Вообще, чтобы в 4-угольник можно было вписать окружность, в нём необходимо и достаточно выполнение одного соотношения: суммы длин противоположных сторон должны совпадать. Для n-угольников число таких независимых соотношений, обеспечивающих его описанность, возрастает до n-3.

Площадь описанного многоугольника и формула радиуса

Отрезки, соединяющие центр описанного n-угольника с его вершинами, разбивают его на n треугольников, каждый из которых содержит ровно одну сторону исходного многоугольника, вершина, лежащая напротив, является центром вписанной окружности, а высота, опущенная из неё к этой стороне, совпадает с радиусом вписанной окружности. Поэтому площадь k-ого треугольника будет равна:

${\displaystyle S_{k}=ra_{k}/2}$,

а общая площадь, соответственно составит

${\displaystyle S=S_{1}+S_{2}+\dots +S_{n}=r(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n})/2}$,

${\displaystyle S=rp}$,

где ${\displaystyle p=(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n})/2}$ - полупериметр (половина периметра) многоугольника.

Следствие 1. Радиус вписанной окружности равен отношению площади многоугольника ${\displaystyle S}$ к полупериметру ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}}$.

Следствие 2. С помощью предельного перехода получается одно из наиболее важных следствий этой формулы - формула площади круга:

${\displaystyle S=\pi r^{2}}$.

Для её получения нужно описанный многоугольник равномерно обрезать по касательным к окружности бесконечно много раз. Тогда его площадь будет стремиться к площади круга, а полупериметр - к полупериметру круга ${\displaystyle p=\pi r}$.

Формулу площади можно слегка обобщить:

Любые два луча из центра описанной окружности вырезают из описанного многоугольника фигуру, площадь которой равна

${\displaystyle S=rl}$,

где ${\displaystyle l}$ - длина той части контура исходного многоугольника, которая заключена между этими лучами.

Таким образом, чтобы разрезать описанный многоугольник на m равных по площади частей, достаточно его периметр поделить m точками на равные по длине части и их соединить радиусами с центром вписанной окружности.

Задание описанного многоугольника длинами сторон

Основной вопрос этой темы: каким условиям должны удовлетворять числа ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$, чтобы существовал описанный многоугольник с такими длинами сторон, и насколько однозначно восстановление описанного многоугольника по длинам сторон?

Необходимое условие для существования очевидно. Если требуемый многоугольник существует, то должно быть

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}=t_{1}+t_{2}\\a_{2}=t_{2}+t_{3}\\\dots \\a_{n}=t_{n}+t_{1}\end{cases}}}$

где ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}}$ - отрезки касательных, проведённых из вершин к вписанной окружности. Поэтому эта система с заданными параметрами ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ должна иметь решение в положительных числах ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}}$. На самом деле, это условие не только необходимо, но и достаточно для существования описанного многоугольника с заданными длинами сторон.

Случай нечётного n. В случае нечётного числа сторон n линейная система не вырождена и имеет единственное решение:

${\displaystyle {\begin{cases}2t_{1}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\dots -a_{n-1}+a_{n}\\2t_{2}=a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}+\dots -a_{n}+a_{1}\\\dots \\2t_{n}=a_{n}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\dots -a_{n-2}+a_{n-1}\end{cases}}}$

Поэтому для разрешимости системы в положительных числах необходимо наложить условие, чтобы все альтернированные суммы в правых частях этих равенств были бы положительными.

Например, для описанного треугольника с требуемыми сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ все эти условия превращаются просто в неравенство треугольника:

${\displaystyle a-b+c>0,\,b-c+a>0,\,c-a+b>0}$.

Таким образом, в случае нечётного числа сторон, описанный n-угольник с заданными сторонами существует и единствен (с точностью до равенства), если только все указанные выше альтернированные суммы сторон положительны.

Случай чётного n. В случае чётного числа сторон n линейная система вырождена, уравнения линейно зависимы, и для разрешимости в числах любого знака требуется одно линейное соотношение - полная альтернированная сумма длин всех сторон должна быть равна нулю:

${\displaystyle a_{1}-a_{2}+a_{3}-\dots +a_{n-1}-a_{n}=0}$.

При этом сами числа ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}}$ однозначно найти нельзя, однако можно найти их суммы ${\displaystyle t_{k}+t_{m}}$, если k и m разной чётности:

${\displaystyle {\begin{cases}t_{1}+t_{2}=a_{1}\\t_{1}+t_{4}=a_{1}-a_{2}+a_{3}\\t_{1}+t_{6}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}\\\dots \,\dots \,\dots \\t_{2}+t_{3}=a_{2}\\t_{2}+t_{5}=a_{2}-a_{3}+a_{4}\\t_{2}+t_{7}=a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}+a_{6}\\\dots \,\dots \,\dots \\\end{cases}}}$

В случае чётного числа сторон, описанный n-угольник с заданными сторонами существует, если полная альтернированная сумма длин всех сторон равна нулю, а все указанные выше неполные альтернированные суммы сторон положительны. При этом описанный n-угольник с требуемыми сторонами не будет единственным, для него останется одна степень свободы.

Таким образом, задание описанного многоугольника длинами сторон, когда их количество чётно, не является удовлетворительным.

В треугольнике

Основная статья: Вписанная в треугольник окружность

Окружность, вписанная в треугольник со сторонами a, b, c.

Свойства вписанной окружности:

• В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
• Центр ${\displaystyle I}$ вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
• Радиус ${\displaystyle r}$ вписанной в треугольник окружности равен:

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}}};}$

• Радиус ${\displaystyle R}$ описанной вокруг треугольника окружности равен:

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}};}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$

где ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника, ${\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}}$ — высоты, проведённые к соответствующим сторонам^[1];

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}$

Формула Эйлера

где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника, а ${\displaystyle p}$ — его полупериметр.

${\displaystyle r={\frac {p-a}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} (\beta /2)}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}}$, ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).

• Если ${\displaystyle AB}$ — основание равнобедренного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, то окружность, касающаяся сторон угла ${\displaystyle \angle ACB}$ в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, проходит через центр вписанной окружности треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$.
• Теорема Эйлера: ${\displaystyle R^{2}-2Rr=|OI|^{2}}$, где ${\displaystyle R}$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной в него окружности, ${\displaystyle O}$ — центр описанной окружности, ${\displaystyle I}$ — центр вписанной окружности.

${\displaystyle |OI|^{2}={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$

• Если прямая, проходящая через точку ${\displaystyle I}$ параллельно стороне ${\displaystyle AB}$, пересекает стороны ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle CA}$ в точках ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle B_{1}}$, то ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}}$.
• Если точки касания вписанной в треугольник ${\displaystyle T}$ окружности соединить отрезками с его сторонами, то получится треугольник ${\displaystyle T_{1}}$ со свойствами:
  • Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T₁
  • Пусть T₂ — ортотреугольник T₁. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
  • Пусть T₃ — серединный треугольник T₁. Тогда биссектрисы T являются высотами T₃.
  • Пусть T₄ — ортотреугольник T₃, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T₄.
• Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен ${\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}}$.
• Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно ${\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c}$.
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно ${\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}}$ и ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}$
• Теорема о трезубце или теорема трилистника: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда ${\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|}$.

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)

• Лемма Веррьера^[2][3]: пусть окружность ${\displaystyle V}$ касается сторон ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle AC}$ и дуги ${\displaystyle BC}$ описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$. Тогда точки касания окружности ${\displaystyle V}$ со сторонами и центр вписанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ лежат на одной прямой.

• Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности. Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Связь вписанной и описанной окружностей

• Формула Эйлера: Если ${\displaystyle d}$ — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle R}$ соответственно, то ${\displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr}$.
• Формулы для отношения и произведения радиусов:

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}$^[4]

${\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}$,

${\displaystyle {\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1}$

где ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника, ${\displaystyle S}$ — его площадь.

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{2abc}}}$

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[5].

• Для треугольника можно построить полувписанную окружность, или окружность Варьера. Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей описанную окружность во вписанную.
• Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R

Связь центра вписанной окружности и середин высот треугольника

• Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.^[6].
• Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.

В четырёхугольнике

• Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
• Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: ${\displaystyle AB+CD=BC+AD}$.

Теорема Ньютона (планиметрия) и прямая Ньютона

• Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Ньютона. На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
• Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

• Тангенс радиуса^[7] вписанной в сферический треугольник окружности равен^[8]:73-74

${\displaystyle \operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(p-a)\sin(p-b)\sin(p-c)}{\sin p}}}}$

• Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника^[8]:20-21.

Обобщения

• Вписанной сферой называется сфера, касающаяся всех граней многогранника.
• Эллипс Штейнера — вписанный в треугольник эллипс.

См. также

• Вневписанная окружность
• Внеописанный четырёхугольник
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Вписанные и описанные фигуры для треугольника
• Замечательные прямые треугольника
• Замечательные точки треугольника
• Вписанное коническое сечение^[англ.]
• Описанная окружность
• Описанный четырёхугольник
• Ортоцентр
• Степень точки относительно окружности
• Теорема Мансиона
• Теорема о трезубце
• Теорема Тебо 2 и 3
• Теорема Фейербаха
• Теорема Харкорта
• Точки Аполлония
• Треугольник
• Центроид
• Центроид треугольника