Вписанная окружность

Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.

Окружность, вписанная в угол

Пусть окружность с центром O вписана в угол A, то есть лежит внутри этого угла и касается его сторон в некоторых точках B и C.

Поскольку OB и OС - радиусы, проведённые к точкам касания, они равны и являются перпендикулярами, опущенными из точки O к соответствующим сторонам. Отсюда следует:

Радиус окружности, вписанной в угол, равен расстоянию от её центра до любой из сторон угла;

Центр вписанной в угол окружности равноудалён от сторон угла на расстояние радиуса;

Образующиеся треугольники ${\displaystyle \triangle CAO}$ и ${\displaystyle \triangle BAO}$ прямоугольны и равны (по общей гипотенузе OA, и равным катетам OC и OB).

Окружность, вписанная в угол

Из равенства этих треугольников следует, что:

Отрезки касательных равны: ${\displaystyle AB=AC}$;

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе: ${\displaystyle \angle CAO=\angle BAO}$.

Из прямоугольности треугольников также следует, что

Угол, в который может быть вписана окружность, должен быть меньше 180 градусов (${\displaystyle \angle A=\angle BAO+\angle CAO<90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }}$).

Через радиус ${\displaystyle r}$ и угол ${\displaystyle \alpha =\angle A}$ выражаются:

Расстояние от вершины угла до центра окружности: ${\displaystyle AO={\frac {r}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}}$;

Отрезки касательных: ${\displaystyle AB=AC={\frac {r}{\rm {{tg}{\frac {\alpha }{2}}}}}}$.

Помимо обычной тригонометрии, в данной ситуации также бывает полезной следующая формула, связывающая величину угла ${\displaystyle \alpha }$, радиус ${\displaystyle r}$ и отрезок касательной ${\displaystyle t=AB}$:

${\displaystyle e^{i\alpha }={\frac {t+ri}{t-ri}}}$,

где ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ - мнимая единица.

Доказательство

Введём прямоугольную систему координат, направив ось x вдоль луча AB, а ось y - через точку A сонаправленно отрезку BO. Тогда точка O будет иметь комплексную координату ${\displaystyle t+ir}$, и поскольку она лежит на биссектрисе угла A, то

${\displaystyle t+ir=|AO|e^{i{\frac {\alpha }{2}}}}$.

Применим комплексное сопряжение:

${\displaystyle t-ir=|AO|e^{-i{\frac {\alpha }{2}}}}$.

Деля первую формулу на вторую, получим искомое равенство.

Замечание. При использовании в геометрии комплексных чисел следует иметь в виду, что во всех формулах комплексного анализа углы всегда считаются ориентированными, а в геометрии - обычно нет, что иногда приводит к недоразумениям. Указанная выше формула применима к ориентированному углу ${\displaystyle \alpha }$, только если ${\displaystyle \sin \alpha >0}$. В противном случае ${\displaystyle \alpha }$ в формуле следует заменить на ${\displaystyle -\alpha }$.

Чтобы вписать окружность в заданный угол, нужно в качестве центра (если он не задан) выбрать любую точку на биссектрисе этого угла и опустить из неё перпендикуляры на стороны. В качестве радиуса окружности следует взять длину любого из полученных перпендикуляров. Если центр не задан, вписываемая окружность не единственна.

В многоугольнике

• Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

• Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади ${\displaystyle S}$ к его полупериметру ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}}$

В треугольнике

Основная статья: Вписанная в треугольник окружность

Окружность, вписанная в треугольник со сторонами a, b, c.

Свойства вписанной окружности:

• В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
• Центр ${\displaystyle I}$ вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
• Радиус ${\displaystyle r}$ вписанной в треугольник окружности равен:

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}}};}$

• Радиус ${\displaystyle R}$ описанной вокруг треугольника окружности равен:

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}};}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$

где ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника, ${\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}}$ — высоты, проведённые к соответствующим сторонам^[1];

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}$

Формула Эйлера

где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника, а ${\displaystyle p}$ — его полупериметр.

${\displaystyle r={\frac {p-a}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} (\beta /2)}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}}$, ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).

• Если ${\displaystyle AB}$ — основание равнобедренного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, то окружность, касающаяся сторон угла ${\displaystyle \angle ACB}$ в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, проходит через центр вписанной окружности треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$.
• Теорема Эйлера: ${\displaystyle R^{2}-2Rr=|OI|^{2}}$, где ${\displaystyle R}$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной в него окружности, ${\displaystyle O}$ — центр описанной окружности, ${\displaystyle I}$ — центр вписанной окружности.

${\displaystyle |OI|^{2}={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$

• Если прямая, проходящая через точку ${\displaystyle I}$ параллельно стороне ${\displaystyle AB}$, пересекает стороны ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle CA}$ в точках ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle B_{1}}$, то ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}}$.
• Если точки касания вписанной в треугольник ${\displaystyle T}$ окружности соединить отрезками с его сторонами, то получится треугольник ${\displaystyle T_{1}}$ со свойствами:
  • Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T₁
  • Пусть T₂ — ортотреугольник T₁. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
  • Пусть T₃ — серединный треугольник T₁. Тогда биссектрисы T являются высотами T₃.
  • Пусть T₄ — ортотреугольник T₃, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T₄.
• Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен ${\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}}$.
• Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно ${\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c}$.
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно ${\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}}$ и ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}$
• Теорема о трезубце или теорема трилистника: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда ${\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|}$.

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)

• Лемма Веррьера^[2][3]: пусть окружность ${\displaystyle V}$ касается сторон ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle AC}$ и дуги ${\displaystyle BC}$ описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$. Тогда точки касания окружности ${\displaystyle V}$ со сторонами и центр вписанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ лежат на одной прямой.

• Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности. Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Связь вписанной и описанной окружностей

• Формула Эйлера: Если ${\displaystyle d}$ — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle R}$ соответственно, то ${\displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr}$.
• Формулы для отношения и произведения радиусов:

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}$^[4]

${\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}$,

${\displaystyle {\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1}$

где ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника, ${\displaystyle S}$ — его площадь.

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{2abc}}}$

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[5].

• Для треугольника можно построить полувписанную окружность, или окружность Варьера. Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей описанную окружность во вписанную.
• Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R

Связь центра вписанной окружности и середин высот треугольника

• Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.^[6].
• Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.

В четырёхугольнике

• Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
• Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: ${\displaystyle AB+CD=BC+AD}$.

Теорема Ньютона (планиметрия) и прямая Ньютона

• Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Ньютона. На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
• Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

• Тангенс радиуса^[7] вписанной в сферический треугольник окружности равен^[8]:73-74

${\displaystyle \operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(p-a)\sin(p-b)\sin(p-c)}{\sin p}}}}$

• Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника^[8]:20-21.

Обобщения

• Вписанной сферой называется сфера, касающаяся всех граней многогранника.
• Эллипс Штейнера — вписанный в треугольник эллипс.

См. также

• Вневписанная окружность
• Внеописанный четырёхугольник
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Вписанные и описанные фигуры для треугольника
• Замечательные прямые треугольника
• Замечательные точки треугольника
• Вписанное коническое сечение^[англ.]
• Описанная окружность
• Описанный четырёхугольник
• Ортоцентр
• Степень точки относительно окружности
• Теорема Мансиона
• Теорема о трезубце
• Теорема Тебо 2 и 3
• Теорема Фейербаха
• Теорема Харкорта
• Точки Аполлония
• Треугольник
• Центроид
• Центроид треугольника