Преобразование Ханкеля

В математике преобразование Ханкеля порядка ${\displaystyle \nu }$ функции ${\displaystyle f(r)}$ задаётся формулой

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)r\,dr,}$

где ${\displaystyle J_{\nu }}$ — функция Бесселя первого рода порядка ${\displaystyle \nu ,}$ и ${\displaystyle \nu \geqslant -1/2}$. Обратным преобразованием Ханкеля функции ${\displaystyle F_{\nu }(k)}$ называют выражение

${\displaystyle f(r)=\int \limits _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\,dk,}$

которое можно проверить с помощью ортогональности, описанной ниже.

Преобразование Ханкеля является интегральным преобразованием. Оно было изобретено Германом Ханкелем и известно также под именем преобразование Бесселя — Фурье.

Область определения

Преобразование Ханкеля функции ${\displaystyle f(r)}$ верно для любых точек на интервале ${\displaystyle (0,\infty )}$, в которых функция ${\displaystyle f(r)}$ непрерывна или кусочно-непрерывна с конечными скачками, и интеграл

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr}$

конечен.

Возможно также расширить это определение (подобно тому, как это делается для преобразования Фурье), включив в него некоторые функции, интеграл которых бесконечен (например, ${\displaystyle f(r)=r}$).

Ортогональность

Функции Бесселя формируют ортогональный базис с весом ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r\,dr={\frac {\delta (k-k')}{k}}}$

для ${\displaystyle k,k'>0}$.

Преобразование Ханкеля некоторых функций

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{0}(k)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \delta (k)/k}$
${\displaystyle r}$	${\displaystyle -1/k^{3}}$
${\displaystyle r^{3}}$	${\displaystyle 9/k^{5}}$
${\displaystyle r^{m}}$	${\displaystyle {\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)}}}$ для нечётных m, ${\displaystyle 0}$ для чётных m.
${\displaystyle e^{iar}}$	${\displaystyle {\frac {-ia{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}}{(k^{2}-a^{2})^{2}}}}$
${\displaystyle e^{a^{2}r^{2}/2}}$	${\displaystyle {\frac {-e^{k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}}$

См. также

• Преобразование Фурье

Ссылки

• Gaskill, Jack D., «Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics», John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5.
• Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.