Признак Вейерштрасса

Признак Вейерштрасса — признак сходимости рядов из функций.

Рассмотрим ряд: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x)}$

Пусть существует последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ такая, что для любого ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство ${\displaystyle 0\leqslant |u_{n}(x)|\leqslant a_{n}}$, кроме того, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится. Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x)}$ сходится на множестве ${\displaystyle X}$ абсолютно и равномерно.

Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши.