Признак Куммера

Признак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Эрнстом Куммером.

Формулировка

Пусть дан ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,(a_{n}\geqslant 0)}$ и произвольная числовая последовательность ${\displaystyle \{c_{n}\}\,(c_{n}\geqslant 0)}$, такая что ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}$ расходится. Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится, если для всех ${\displaystyle n>N}$ выполняется неравенство: ${\displaystyle K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta }$, где ${\displaystyle \delta >0}$. Если же ${\displaystyle K_{n}\leqslant 0}$ для ${\displaystyle n>N}$, то ряд расходится.

Доказательство ^[1]

Дан ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

1. Доказательство сходимости. Пусть для всех ${\displaystyle n}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta >0}$.

Домножив обе части этого неравенства на ${\displaystyle a_{n+1}}$, получим:

${\displaystyle c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}\geqslant \delta \cdot a_{n+1}}$,

(*)

а поскольку ${\displaystyle \delta >0}$, то:

${\displaystyle c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}>0}$,

${\displaystyle c_{n}\cdot a_{n}>c_{n+1}\cdot a_{n+1}}$.

Отсюда следует, что последовательность ${\displaystyle c_{n}\cdot a_{n}}$ монотонно убывает и,следовательно, стремится к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулём). Соответственно, сходится и последовательность ${\displaystyle (c_{1}\cdot a_{1}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}}$), которая является суммой ${\displaystyle n}$ первых членов ряда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1})}$,

который в силу этого также сходится. Но тогда из неравенства (*), по первой теореме сравнения, следует, что сходится ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}}$. Тогда, поскольку ${\displaystyle a_{n}\leqslant \delta a_{n+1}}$, должен сходиться и данный ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

Примечание. При доказательстве сходимости не используется условие, что ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}$ расходится.

2. Доказательство расходимости. Пусть теперь для некоторого ${\displaystyle n>N}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\leqslant 0}$

или

${\displaystyle c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\leqslant c_{n+1}}$.

Разделив обе части этого неравенства на ${\displaystyle c_{n+1}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$ получим:

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geqslant {\frac {\frac {1}{c_{n+1}}}{\frac {1}{c_{n}}}}}$.

Так как по условиям теоремы ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}$ предполагается расходящимся, то в силу теоремы сравнения, должен расходиться и данный ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел: ${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }K_{n}}$ то при ${\displaystyle K>0}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle K<0}$ — расходится.

Важные частные случаи

Некоторые другие признаки сходимости рядов являются частными случаями признака Куммера с конкретными видами последовательности ${\displaystyle c_{n}}$:

• При ${\displaystyle c_{n}=1}$ — признак Даламбера;
• При ${\displaystyle c_{n}=n}$ — признак Раабе;
• При ${\displaystyle c_{n}=n\,\mathrm {ln} \,n}$ — признак Бертрана.