Причинные множества

Причинные множества — направление исследований в квантовой гравитации, основанное на математической гипотезе о дискретной структуре пространства-времени и о частичной упорядоченности его точек, физически означающей причинно-следственные связи^[англ.] между событиями в них с сохранением лоренцевской инвариантности.

В теории причинных множеств важную роль играет теорема^[1] Дэвида Маламента (David Malament^[англ.]), которая гласит, что если существует биективное отображение между двумя различающими прошлое и будущее^[англ.] областями пространства-времени, которое сохраняет их причинную структуру, то это отображение является конформно изоморфным. Конформный множитель, который остается неопределенным, связан с объемом областей в пространстве-времени. Его можно найти, указав элемент объема для каждой точки пространства-времени. Общий объем области пространства-времени затем может быть найден путем подсчета количества точек в этой области.

Определение

Причинным множеством называется множество ${\displaystyle C}$ с отношением частичной упорядоченности ${\displaystyle \preceq }$, обладающее свойствами:

• Рефлексивность: Для всех ${\displaystyle x\in C}$, выполняется ${\displaystyle x\preceq x}$.
• Антисимметричность: Для всех ${\displaystyle x,y\in C}$ из справедливости ${\displaystyle x\preceq y}$ и ${\displaystyle y\preceq x}$ следует ${\displaystyle x=y}$.
• Транзитивность: Для всех ${\displaystyle x,y,z\in C}$, из справедливости ${\displaystyle x\preceq y}$ и ${\displaystyle y\preceq z}$ следует ${\displaystyle x\preceq z}$.
• Локальная конечность^[англ.]: Для всех ${\displaystyle x,z\in C}$, выполняется ${\displaystyle |\{y\in C|x\preceq y\preceq z\}|<\aleph _{0}}$.

Если ${\displaystyle x\preceq y}$ и ${\displaystyle x\neq y}$, то используют обозначение ${\displaystyle x\prec y}$.

Множество ${\displaystyle C}$ представляет набор событий пространства-времени, а отношение порядка ${\displaystyle \preceq }$ представляет причинно-следственную связь между событиями (аналогичную идею в лоренцевом многообразии см. причинно-следственные связи^[англ.]).

Хотя в этом определении используется рефлексивное соглашение, мы могли бы выбрать нерефлексивное соглашение, в котором отношение порядка нерефлексивно.

Причинная структура^[англ.] лоренцева многообразия (без замкнутой причинно-следственной кривой^[англ.]) удовлетворяет первым трем условиям. Это условие локальной конечности, которое вводит дискретность пространства-времени.

См. также

• Причинная динамическая триангуляция
• Причинная структура^[англ.]
• Общая теория относительности
• Отношение порядка