Проективное пространство

Проекти́вное простра́нство над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$ — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n+1}}$ над данным полем. Прямые пространства ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n+1}}$ называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Для полей ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$, и тела ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {H} }$ соответствующее проективное пространство называется вещественным ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$, комплексным ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}}$ или кватернионным ${\displaystyle \mathbb {H} \mathrm {P} ^{n}}$ соответственно.

Переход от векторного пространства ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n+1}}$ к соответствующему проективному пространству ${\displaystyle \mathbb {K} \mathrm {P} ^{n}}$ называется проективизацией. Точки ${\displaystyle \mathbb {K} \mathrm {P} ^{n}}$ можно описывать с помощью однородных координат.

Определение как факторпространства

Отождествляя точки ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\sim (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})}$, где ${\displaystyle \lambda }$ отлично от нуля, мы получим фактормножество (по отношению эквивалентности ${\displaystyle \sim }$)

${\displaystyle \mathrm {P} ^{n}(\mathbb {R} ):=(\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{\mathbf {0} \})/{\sim }}$.

Точки проективного пространства обозначаются как ${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$, где числа ${\displaystyle x_{i}}$ называются однородными координатами^[1]. Например, ${\displaystyle [1:2:3]}$ и ${\displaystyle [2:4:6]}$ обозначают одну и ту же точку проективного пространства.

Аксиоматическое определение

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской. В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек ${\displaystyle P}$, множества прямых ${\displaystyle L}$ и отношения инцидентности ${\displaystyle I}$, которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам:

• для любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обеим точкам;
• каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам;
• если прямые ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle M}$ пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ лежат на прямой ${\displaystyle L}$, а точки ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle r}$ — на прямой ${\displaystyle M}$, то прямые ${\displaystyle ps}$ и ${\displaystyle qr}$ пересекаются.

Подпространством проективного пространства называется подмножество ${\displaystyle T}$ множества ${\displaystyle P}$, такое что для любых ${\displaystyle p,q\in P}$ из этого подмножества все точки прямой ${\displaystyle pq}$ принадлежат ${\displaystyle T}$. Размерностью проективного пространства ${\displaystyle P}$ называется наибольшее число ${\displaystyle n}$, такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида

${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P}$.

Классификация

• Размерность 0: пространство состоит из единственной точки.
• Размерность 1 (проективная прямая): произвольное непустое множество точек и единственная прямая, на которой лежат все эти точки.
• Размерность 2 (проективная плоскость): в этом случае классификация является более сложной. Все плоскости вида ${\displaystyle \mathbb {K} \mathrm {P} ^{n}}$ для некоторого тела ${\displaystyle \mathbb {K} }$ удовлетворяют аксиоме Дезарга, однако существуют также недезарговы плоскости.
• Большие размерности: согласно теореме Веблена — Юнга,^[2] любое проективное пространство размерности более двух может быть получено как проективизация модуля над некоторым телом.

Связанные определения и свойства

• Пусть ${\displaystyle M}$ есть гиперплоскость в линейном пространстве ${\displaystyle L}$. Проективное пространство ${\displaystyle P(M)\subset P(L)}$ называется проективной гиперплоскостью в ${\displaystyle P(L)}$.
• На дополнении проективной гиперплоскости ${\displaystyle A=P(L)\backslash P(M)}$ существует естественная структура аффинного пространства.
• Обратно, взяв за основу аффинное пространство ${\displaystyle A}$, можно получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены т. н. бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.
• Пусть ${\displaystyle P(L')}$ и ${\displaystyle P(L'')}$ ― два проективных подпространства. Множество ${\displaystyle P(L'+L'')}$ называется проективной оболочкой множества ${\displaystyle P(L')\cup P(L'')}$ и обозначается ${\displaystyle P(L'+L'')={\overline {P(L')\cup P(L'')}}}$.^[3]

Тавтологическое расслоение

Тавтологическим расслоением ${\displaystyle \gamma ^{n}\colon E\to \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}}$

${\displaystyle E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm x\},v)\in \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \}}}$,

а слоем — вещественная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Каноническая проекция ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ отображает прямую, проходящую через точки ${\displaystyle \pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}}$, в соответствующую точку проективного пространства. При ${\displaystyle n\geqslant 1}$ это расслоение не является тривиальным. При ${\displaystyle n=1}$ пространством расслоения является лента Мёбиуса.

См. также

• Плоскость Кэли