Теорема Радона — Никодима

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Названа в честь Отто Никодима и Иоганна Радона.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ — пространство с мерой. Предположим, что ${\displaystyle \mu }$ — ${\displaystyle \sigma }$-конечна. Если мера ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R} }$ абсолютно непрерывна относительно ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\nu \ll \mu )}$, то существует измеримая функция ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$, такая что

${\displaystyle \nu (A)=\int \limits _{A}\!f(x)\,\mu (dx),\quad \forall A\in {\mathcal {F}},}$

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Другими словами, если вещественнозначная функция ${\displaystyle A\mapsto \nu (A)}$ обладает свойствами:^[1]

1. ${\displaystyle \nu }$ определена на борелевской алгебре ${\displaystyle S_{\mu }}$.
2. ${\displaystyle \nu }$ аддитивна; то есть, для любого разложения ${\displaystyle A=\bigcup _{n}A_{n}}$ множества ${\displaystyle A\in S_{\mu }}$ на попарно непересекающиеся множества ${\displaystyle A_{n}\in S_{\mu }}$ выполняется равенство

   ${\displaystyle \nu (A)=\sum _{n}\nu (A_{n})}$

3. ${\displaystyle \nu }$ абсолютно непрерывна; то есть, из ${\displaystyle \mu (A)=0}$ вытекает ${\displaystyle \nu (A)=0}$.

то она представима в виде

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f(x)d\mu ,}$

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятия

• Функция ${\displaystyle f}$, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры ${\displaystyle \nu }$ относительно меры ${\displaystyle \mu }$. Пишут:

  ${\displaystyle f={\frac {d\nu }{d\mu }}.}$

  • Если ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}})=\left(\mathbb {R} ^{k},\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{k})\right)}$ — ${\displaystyle k}$-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, ${\displaystyle \nu =\mathbb {P} ^{X}}$ — распределение некоторой случайной величины ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle \mu =m}$ — мера Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, то производная Радона — Никодима меры ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ относительно меры ${\displaystyle m}$ называется плотностью распределения случайной величины ${\displaystyle X}$.

Свойства

• Пусть ${\displaystyle \lambda ,\;\mu ,\;\nu }$ — ${\displaystyle \sigma }$-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}})}$. Тогда если ${\displaystyle \mu \ll \lambda }$ и ${\displaystyle \nu \ll \lambda }$, то

${\displaystyle {\frac {d(\mu +\nu )}{d\lambda }}={\frac {d\mu }{d\lambda }}+{\frac {d\nu }{d\lambda }}.}$

• Пусть ${\displaystyle \nu \ll \mu \ll \lambda }$. Тогда

${\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}}$ выполнено ${\displaystyle \lambda }$-почти всюду.

• Пусть ${\displaystyle \mu \ll \lambda }$ и ${\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} }$ — измеримая функция, интегрируемая относительно меры ${\displaystyle \mu }$, то

${\displaystyle \int \limits _{X}\!g(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}\!g(x)\,{\frac {d\mu }{d\lambda }}(x)\,\lambda (dx).}$

• Пусть ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ и ${\displaystyle \nu \ll \mu }$. Тогда

${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.}$

• Пусть ${\displaystyle \nu }$ — заряд. Тогда

${\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.}$

Применение

Теорема и соответствующая производная Радона — Никодима широко используется в стохастической финансовой математике в процедурах замены вероятностной меры для стохастических процессов динамики цен финансовых и других активов и процентных ставок. В частности, стандартным является переход от риск-нейтральной меры к физической (натуральной) вероятностной мере.

Вариации и обобщения

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.