Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра, си́гма-а́лгебра множеств) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение

Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ подмножеств множества ${\displaystyle X}$ называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам^[1]:

1. ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ содержит множество ${\displaystyle X}$.
2. Если ${\displaystyle E\in {\mathfrak {S}}}$, то и его дополнение ${\displaystyle X\backslash E\in {\mathfrak {S}}}$.
3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

Пояснения

• Из пунктов 1 и 2 определения следует, что любая σ-алгебра содержит пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$.
• Поскольку

  ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=X\backslash \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }(X\backslash A_{n})\right),}$

в пункте 3 достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$.

• Требование в пункте 1 избыточно, так как из пункта 3 следует, что пересечение или объединение конечного числа элементов из ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ (обратное в общем случае неверно), откуда по пунктам 2 и 3 имеем ${\displaystyle \emptyset =E\cap (X\backslash E)\in {\mathfrak {S}}}$ и ${\displaystyle X=X\backslash \emptyset \in {\mathfrak {S}}}$.
• Для любой системы множеств ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ существует наименьшая сигма-алгебра ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$, являющаяся её надмножеством.
• Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$, то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
• σ-алгебра, порождённая случайной величиной ${\displaystyle \xi$ :\,X\rightarrow \mathbb {R} } , определяется следующим образом:

${\displaystyle \sigma (\xi )=\left\{\xi ^{-1}(B)\mid B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\right\}}$,

где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве ${\displaystyle X}$, относительно которой случайная величина ${\displaystyle \xi }$ всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве ${\displaystyle X}$ вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции ${\displaystyle \xi }$ её можно ввести и наделить таким образом пространство ${\displaystyle X}$ структурой измеримого пространства, так что функция ${\displaystyle \xi }$ будет измеримой.

Измеримое пространство

Основная статья: Измеримое пространство

Измеримое пространство — пара ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$, где ${\displaystyle X}$ — множество, а ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Примеры

• Борелевская сигма-алгебра
• Для любого множества ${\displaystyle X}$ существует тривиа́льная σ-алгебра ${\displaystyle \left\{X,\varnothing \right\}}$.
• Для любого множества ${\displaystyle X}$ существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.