Производная Фреше

Произво́дная Фреше́ (сильная производная) — обобщение понятия производной на бесконечномерные банаховы пространства. Название дано в честь французского математика Мориса Фреше.

Определение

Пусть ${\displaystyle F\colon X\rightarrow Y}$ — оператор, действующий из некоторого вещественного банахова пространства ${\displaystyle X}$ в вещественное банахово пространство ${\displaystyle Y}$.

Производной Фреше оператора ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x\in X}$ называется ограниченный линейный оператор ${\displaystyle A\colon X\rightarrow Y}$, такой, что для любого ${\displaystyle h\in X}$ выполняется следующее равенство:

${\displaystyle F(x+h)-F(x)=Ah+r_{0}(x,\;h),}$

причем для остаточного члена ${\displaystyle r_{0}(x,\;h)}$ верно соотношение:

${\displaystyle {\frac {\|r_{0}(x,\;h)\|_{Y}}{\|h\|_{X}}}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle \|h\|_{X}\rightarrow 0.}$

Если производная Фреше существует, то оператор ${\displaystyle F}$ называется сильно дифференцируемым. Линейная часть приращения ${\displaystyle Ah}$ в таком случае именуется дифференциалом Фреше функции ${\displaystyle F}$.

Можно показать, что производная Фреше, в том случае, когда она существует, совпадает с производной Гато.

Свойства

Пусть ${\displaystyle f,g:G\rightarrow Y}$ — отображения нормированных пространств. Тогда производная Фреше удовлетворяет:

• ${\displaystyle (f+g)'(\varphi )=f'(\varphi )+g'(\varphi )}$
• ${\displaystyle (\lambda f)'(\varphi )=\lambda f'(\varphi )}$, где λ — некий скаляр из поля над которым определены нормированные пространства.
• ${\displaystyle (f\circ g)'(\varphi )=(f'\circ g)(\varphi )\,g'(\varphi )}$.

См. также

• Производная (обобщения)
• Производная Гато

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление — Любое издание.