Простое число Фибоначчи — Вифериха

Простое число Фибоначчи — Вифериха (также простое число Уолла — Суня — Суня, англ. Wall – Sun – Sun) — одно из предположительно существующих простых чисел определённого вида, связанных с числами Фибоначчи. По состоянию на 2023 год ни одного такого числа не найдено.

Нерешённые проблемы математики: Существуют ли простые числа Фибоначчи — Вифериха? Если да, конечно ли их количество?

Определение

Простое ${\displaystyle p>5}$ называется простым числом Фибоначчи — Вифериха, если ${\displaystyle p^{2}}$ делит число Фибоначчи ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}}$, где символ Лежандра ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{5}}\right)}$ определяется как:

${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}}$

Эквивалентное определение: простое ${\displaystyle p}$ называется простым числом Фибоначи — Вифериха, если ${\displaystyle L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$, где ${\displaystyle L_{p}}$ — ${\displaystyle p}$-ое число Люка.^[1]:42

Существование

Существует гипотеза, что простых чисел Фибоначчи — Вифериха бесконечно много^[2], однако по состоянию на 2013 год ни одно такое простое число не обнаружено.

В 2007 году Ричард Макинтош (Richard J. McIntosh) и Эрик Рётгер (Eric L. Roettger) показали, что если они существуют, то должны быть больше 2⋅10^14[3], в 2010 году Франсуа Дорэ (François G. Dorais) и Доминик Клайв (Dominic Klyve) довели границу до 9,7⋅10^14[4]. В декабре 2011 года был начат поиск в проекте PrimeGrid^[5], в декабре 2012 года PrimeGrid дошёл до границы 1,5⋅10^16[6]. По состоянию на апрель 2014 года PrimeGrid дошёл до границы 2.8⋅10¹⁶ и продолжает поиск^[6].

История

Простые числа Уолла — Суня — Суня названы в честь Дональда Уолла (Donald Dines Wall)^[7], Сунь Чжихуна (Sūn Zhìhóng) и Сунь Чживэя (Sūn Zhìwěi), которые в 1992 году показали, что если первый случай великой теоремы Ферма неверен для некоторого простого ${\displaystyle p,}$ то ${\displaystyle p}$ должно быть простым числом Фибоначи — Вифериха^[8]. Таким образом, до доказательства великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом, поиск простых Фибоначчи — Вифериха преследовал цель найти потенциальный контрпример.

Обобщения

Простое (число) трибоначчи — Вифериха (англ. Tribonacci-Wieferich prime)^[9] — простое число, удовлетворяющее условию

${\displaystyle h(p)=h(p^{2}),}$

где ${\displaystyle h(m)}$ — наименьшее положительное целое, для которого выполняется условие

${\displaystyle \left[T_{h},T_{h+1},T_{h+2}\right]\equiv \left[T_{0},T_{1},T_{2}\right]{\pmod {m}},}$

${\displaystyle T_{n}}$ — число трибоначчи с номером n, определённое как

${\displaystyle T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n},}$

${\displaystyle T_{0}=0,T_{1}=0,T_{2}=1.}$

Простых трибоначчи — Вифериха, меньших 10¹¹, не существует^[9].

См. также

• Простое число Вифериха
• Число Вильсона
• Простое число Вольстенхольма