Простое число Вольстенхольма

В теории чисел простым числом Вольстенхольма называется всякое простое число, удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремы Вольстенхольма. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика Джозефа Вольстенхольма, который первым доказал теорему в XIX веке.

Интерес к этим простым возник по причине их связи с великой теоремой Ферма.

Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS). Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 10⁹, нет^[1].

Определения

Нерешённые проблемы математики: Имеются ли простые числа Вольстенхольма, отличные от 16843 и 2124679?

Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькими эквивалентными путями.

Через биномиальные коэффициенты

Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющее сравнению

${\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{4}}},}$

где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент^[2]. Сравните с теоремой Вольстенхольма, которая утверждает, что для любого простого p > 3 выполняется следующее сравнение:

${\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{3}}}.}$

Через числа Бернулли

Простое число Вольстенхольма — это простое число p, делящее (без остатка) числитель числа Бернулли B_p−3^[3][4][5]. Таким образом, простые числа Вольстенхольма представляют собой подмножество иррегулярных простых чисел.

Через иррегулярные пары

Основная статья: иррегулярное простое число

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что (p, p-3) является иррегулярной парой^[6][7].

Через гармонические числа

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что^[8]

${\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}\,,}$

то есть числитель гармонического числа ${\displaystyle H_{p-1}}$ делится на p³.

Поиск и текущее состояние

Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжается до сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первое простое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотя результат и не был опубликован в явном виде^[9]. Находка 1964 года была потом независимо подтверждена в 1970-х годах. Это число оставалось единственным известным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено об обнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 году^[10]. В то время вплоть до 1,2⋅10⁷ не было найдено ни одного числа Вольстенхольма, кроме упомянутых двух^[11]. Позднее граница была поднята до 2⋅10⁸ Макинтошем (McIntosh) в 1995 году^[4], а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смогли достичь 2,5⋅10^8[12]. Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1⋅10⁹ так и не нашли простых чисел Вольстенхольма^[13].

Ожидаемое количество

Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много. Предполагается также, что количество не превосходящих x простых чисел Вольстенхольма должно быть порядка ln ln x, где ln обозначает натуральный логарифм. Для любого простого числа p ≥ 5 частным Вольстенхольма называется

${\displaystyle W_{p}{=}{\frac {{2p \choose p}-2}{p^{3}}}.}$

Ясно, что p является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда W_p ≡ 0 (mod p). Из эмпирических наблюдений можно предположить, что остаток W_p по модулю p равномерно распределён на множестве {0, 1, …, p-1}. По этим причинам вероятность получения определённого остатка (например, 0) должна быть около 1/p^[4].

См. также

• Число Вильсона
• Простое число Фибоначчи — Вифериха
• Простое число Вифериха