Простое число Чэня

Простое число Чэня — простое число ${\displaystyle p}$ такое, что ${\displaystyle p+2}$ — простое или произведение двух простых. Таким образом, чётное число ${\displaystyle 2p+2}$, образованное от простого числа Чэня ${\displaystyle p}$, удовлетворяет теореме Чэня.

Бесконечность количества таких чисел доказал в 1966 году Чэнь Цзинжунь. Этот же результат следует из гипотезы о парных простых. Считается, что впервые числа были описаны Юанем^[1]

Несколько первых простых чисел Чэня^[2]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, … .

Несколько первых простых Чэня, не являющихся первыми в паре простых-близнецов^[3]:

2, 7, 13, 19, 23, 31, 37, 47, 53, 67, 83, 89, 109, 113, 127, …

Несколько первых простых, не являющихся простыми Чэня^[4]:

43, 61, 73, 79, 97, 103, 151, 163, 173, 193, 223, 229, 241, …

Все суперсингулярные простые являются простыми Чэня.

Известен магический квадрат 3×3 из девяти простых чисел Чэня (автором считается Рудольф Ондрейка)^[5]:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

Меньшее в паре простых-близнецов является по определению простым Чэня. Таким образом, 2996863034895*2^1290000 — 1 (с 388342 десятичными знаками), найденное в проекте PrimeGrid, представляет собой наибольшее известное простое Чэня на 04 февраля 2022 года^[6].

Наибольшее известное простое Чэня не из пары чисел-близнецов — (1284991359*2⁹⁸³⁰⁵+1)*(96060285*2¹³⁵¹⁷⁰+1)-2 (имеет 70301 десятичных знаков).

Чэнь доказал также следующее обобщение: для любого чётного целого ${\displaystyle h}$ существует бесконечно много простых ${\displaystyle p}$ таких, что ${\displaystyle p+h}$ — либо простое, либо полупростое.

Теренс Тао и Бен Грин в 2005 году доказали, что имеется бесконечно много арифметических прогрессий из трёх элементов, состоящих из простых Чэня.

В начале 2010-х годов доказано, что среди простых чисел Чэня находятся сколь угодно длинные арифметические прогрессии.