Простые числа Рамануджана

Простые числа Рамануджана — подпоследовательность простых чисел, связанная с теоремой Рамануджана, уточняющей постулат Бертрана относительно функции распределения простых чисел.

История

В 1845 году Бертран выдвинул гипотезу, что

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1}$

для всех ${\displaystyle x\geqslant 2}$, где ${\displaystyle \pi (x)}$ — функция распределения простых чисел, равная числу простых не превосходящих ${\displaystyle x}$. Эта гипотеза была доказана Чебышёвым в 1850 году. В 1919 году Рамануджан, отметив приоритет Чебышёва, доказал в двухстраничной статье более сильную теорему, которая и задаёт последовательность простых чисел Рамануджана:^[1]

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1,2,3,4,5,\ldots }$

для всех ${\displaystyle x\geqslant 2,11,17,29,41,\ldots }$ соответственно (последовательность A104272 в OEIS).

Определение

Простое число Рамануджана ${\displaystyle R_{n}}$ это наименьшее целое число, что для любого ${\displaystyle x\geqslant R_{n}}$ выполнено

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant n.}$

Согласно теореме Рамануджана эта разность для всех ${\displaystyle x\geqslant R_{n}}$ не меньше ${\displaystyle n}$ и стремится к бесконечности.

Следует отметить, что ${\displaystyle R_{n}}$ обязательно является простым числом: ${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)}$, а следовательно и ${\displaystyle \pi (x),}$ должно возрасти, что возможно только если ${\displaystyle R_{n}}$ простое.

Границы и асимптотика

Оценка посредством элементарных функций^[2]:

${\displaystyle 2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n.}$

Оценка посредством простых чисел^[2][3]:

${\displaystyle p_{2n}<R_{n}<p_{3n}}$,

где ${\displaystyle p_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-е простое число.

Асимптотика^[2]:

${\displaystyle R_{n}\sim p_{2n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty .}$

Уточнённая оценка сверху^[4]:

${\displaystyle R_{n}\leq {\frac {41}{47}}\,p_{3n}.}$

Все эти результаты были доказаны после 2008 года.