Процесс с независимыми приращениями

Проце́сс с незави́симыми прираще́ниями в теории случайных процессов — это обобщение понятия суммы независимых случайных величин.

Определение

Случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$, где ${\displaystyle T\subset [0,+\infty )}$ называется процессом с независимыми приращениями, если для любых ${\displaystyle t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$ таких, что ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}}$, случайные величины :${\displaystyle X_{t_{0}},X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}$ независимы.

Замечание

• Пусть ${\displaystyle T=\mathbb {N} \cup \{0\}}$. Положим ${\displaystyle Y_{n}=X_{n}-X_{n-1},\;n\in \mathbb {N} }$. Тогда

${\displaystyle X_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}}$,

и ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\geq 1}}$ — независимые случайные величины.

Свойства

• Пусть ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ — случайный процесс, а ${\displaystyle \phi _{X_{t}-X_{r}}}$ — характеристическая функция случайной величины ${\displaystyle X_{t}-X_{r}}$, где ${\displaystyle t>r}$. Тогда ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ — процесс с независимыми приращениями тогда и только тогда, когда для любых ${\displaystyle 0\leq r<s<t<\infty }$ и ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ выполняется равенство:

${\displaystyle \phi _{X_{t}-X_{r}}(u)=\phi _{X_{s}-X_{r}}(u)\cdot \phi _{X_{t}-X_{s}}(u)}$.

• Любой процесс с независимыми приращениями является марковским. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры

• Винеровский процесс;
• Пуассоновский процесс.