Пфаффиан

Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера ${\displaystyle 2n\times 2n}$, и в этом случае его степень равна n.

Примеры

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.}$

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.}$

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0\\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

Определение

Пусть ${\displaystyle \Pi }$ обозначает множество всех разбиений множества ${\displaystyle \{1,2,\dots ,2n\}}$ на неупорядоченные пары (всего существует ${\displaystyle (2n-1)!!}$ таких разбиений). Разбиение ${\displaystyle \alpha \in \Pi }$ может быть записано

${\displaystyle \alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}}$

где ${\displaystyle i_{k}<j_{k}}$ и ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}}$. Пусть

${\displaystyle \pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{n}\end{bmatrix}}}$

обозначает соответствующую перестановку, а ${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\alpha )}$ — знак перестановки ${\displaystyle \pi }$. Нетрудно видеть, что ${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\alpha )}$ не зависит от выбора ${\displaystyle \pi }$.

Пусть ${\displaystyle A=\{a_{ij}\}}$ обозначает ${\displaystyle 2n\times 2n}$ кососимметричную матрицу. Для разбиения ${\displaystyle \alpha }$ определим

${\displaystyle A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\alpha )a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.}$

Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как

${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.}$

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера ${\displaystyle n\times n}$ для нечётного n равен нулю по определению.

Рекурсивное определение

Пфаффиан матрицы размера ${\displaystyle 0\times 0}$ полагается равным 1; пфаффиан кососимметричной матрицы A размера ${\displaystyle 2n\times 2n}$ при ${\displaystyle n>0}$ может быть определён рекурсивно следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (i-j)}a_{ij}\operatorname {Pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),}$

где индекс ${\displaystyle i}$ может быть выбран произвольно, ${\displaystyle \theta (i-j)}$ — функция Хевисайда, ${\displaystyle A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}}$ обозначает матрицу A без i-той и j-той колонки и строки.

Альтернативное определение

Для ${\displaystyle 2n\times 2n}$ кососимметричной матрицы ${\displaystyle A=\{a_{ij}\}}$ рассмотрим бивектор:

${\displaystyle \omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j}.}$

где ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\dots ,e_{2n}\}}$ есть стандартный базис в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\omega ^{\wedge n}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dots \wedge e_{2n},}$

где ${\displaystyle \omega ^{\wedge n}}$ обозначает внешнее произведение n копий ${\displaystyle \omega }$.

Свойства

Для ${\displaystyle 2n\times 2n}$ кососимметричной матрицы ${\displaystyle A}$ и для произвольной ${\displaystyle 2n\times 2n}$ матрицы ${\displaystyle B}$:

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)}$

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)}$

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)}$

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)}$

• Для блок-диагональной матрицы

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf}}(A_{2}).}$

• Для произвольной ${\displaystyle n\times n}$ матрицы ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.}$

История

Термин «пфаффиан» был введён Кэли^[1] и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.