Пятиугольное число

Пятиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность пятиугольных чисел имеет вид (последовательность A000326 в OEIS):

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477…

Геометрическое представление первых пятиугольных чисел

Общая формула для ${\displaystyle n}$-го по порядку пятиугольного числа:

${\displaystyle P_{n}^{(5)}={\frac {3n^{2}-n}{2}}}$

Определение

Пятиугольные числа, как и все прочие классические ${\displaystyle k}$-угольные числа, можно определить как частичные суммы арифметической прогрессии, которая начинается с 1, а разность её для пятиугольных чисел равна ${\displaystyle k-2=3}$:

${\displaystyle 1+4+7+10+\dots }$

Можно также определить ${\displaystyle n}$-е пятиугольное число как сумму последовательных натуральных чисел:

${\displaystyle P_{n}^{(5)}=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+\dots +(2n-1)}$

Сумма ${\displaystyle n}$-го квадратного числа с ${\displaystyle (n-1)}$-м треугольным числом даёт ${\displaystyle n}$-е пятиугольное число:

${\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)}}$

Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век)^[1].

Наконец, ещё один способ определения пятиугольного числа — рекурсивный:

${\displaystyle P_{1}^{(5)}=1;\quad P_{n}^{(5)}=P_{n-1}^{(5)}+3n-2=2P_{n-1}^{(5)}-P_{n-2}^{(5)}+3}$

Свойства

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными^[1]:

${\displaystyle P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}}$

Если в формуле ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ указать для ${\displaystyle n}$ более общую последовательность:

${\displaystyle n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\dots }$

то получатся обобщённые пятиугольные числа:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... (последовательность A001318 в OEIS)

Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:

${\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots }$

Степени ${\displaystyle x}$ в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел^[2].

Проверка на пятиугольное число

Задача. Выяснить, является ли заданное натуральное число ${\displaystyle x>2}$ пятиугольным.

Решение. Вычислим значение выражения:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}$

${\displaystyle x}$ является пятиугольным числом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n}$ — целое число, причём номер ${\displaystyle x}$ в последовательности пятиугольных чисел равен ${\displaystyle n.}$

Квадратные пятиугольные числа

Существуют числа, одновременно квадратные и пятиугольные^[3]:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801… (последовательность A036353 в OEIS