Теорема Мюнтца — Саса

Теорема Мюнтца — Саса — утверждение о достаточном условии равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции степенными полиномами и достаточном условии её невозможности. Была доказана Мюнтцем в 1914 г.^[1] и Сасом в 1916 г.^[2] Играет важную роль в функциональном анализе.

Равномерная аппроксимация функции

Говорят, что функцию ${\displaystyle f(x)}$ можно равномерно аппроксимировать полиномами ${\displaystyle a_{k}x^{\lambda _{k}}}$ на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ с точностью ${\displaystyle \epsilon }$, если ${\displaystyle \max _{a\leqslant x\leqslant b}\left|f(x)-\sum _{1}^{n}a_{k}x^{\lambda _{k}}\right|<\epsilon }$.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \lambda _{n}}$ - множество комплексных чисел с положительной вещественной частью. Произвольную непрерывную функцию можно равномерно аппроксимировать на интервале ${\displaystyle (0,1)}$ полиномами ${\displaystyle C+\sum a_{n}x_{n}^{\lambda }}$, если

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {Re\lambda _{n}}{1+|\lambda _{n}^{2}|}}=\infty }$.

Такая аппроксимация всякой непрерывной функции невозможна, если

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+Re\lambda _{n}}{1+|\lambda _{n}^{2}|}}<\infty }$^[3].

См. также

• Теорема Саса