Развёртка многогранника

Запрос «Развёртка» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранника^[1]. Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склеены^[1][2].

Развёртка додекаэдра

Развёртки платоновых тел с «крылышками» для склеивания граней

Приведённые ниже развёртки - не единственно возможное решение. К примеру, для куба существует целый ряд различных развёрток, причём их число заметно увеличиться, если допустить возможность создания грани не только целым квадратом из развёртки, но и треугольниками (вместе образующими квадрат грани).

Тетраэдр

Куб

Октаэдр

Икосаэдр

Додекаэдр

Большие размерности

• 
  Тессеракт
• 
  Усечённый тессеракт
• 
  24-ячейник

Свойства

• Существуют примеры развёрток, из которых можно склеить различные выпуклые многогранники.
• Известны примеры невыпуклых многогранников, не допускающих развёрток.^[3]
• Среди тетраэдров можно найти пример, такой что разрезание рёбер по остовному дереву даёт развёртку с самоналеганиями.

• В 1975 году Шепард^[англ.] сформулировал гипотезу, что каждый выпуклый многогранник имеет развёртку без наложений.^[4] Эта гипотеза остаётся открытой до сегодняшнего дня.^[5][6] Известно следующее:
  • Для невыпуклых многогранников утверждение не верно.
  • Некоторые многогранники, например, неправильные тетраэдры определённого типа, допускают развёртки с самоперекрытиями.
  • Гипотеза верна для многогранников, у которых одна из граней имеет общее ребро со всеми остальными.
  • В 2014 Мохамед Гоми доказал, что такая развёртка найдётся, если применить к многограннику аффинное преобразование определённого типа.^[7] В частности, из любого комбинаторного класса выпуклых многогранников можно выбрать многогранник, допускающий развёртку.

См. также

• Паттерн (оригами)
• Эвольвента — развёртка кривой.