Эвольвента

Запрос «Инволюта» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Эвольве́нта (от лат. evolvens, родительный падеж evolventis «разворачивающий»^[1][2]), или инволю́та^[3], или развёртка^[2], плоской кривой ${\displaystyle L}$ — это плоская кривая ${\displaystyle L_{*}}$, по отношению к которой ${\displaystyle L}$ является эволютой^[1][4][2].

Две параллельные эвольвенты окружности — боковые части профиля в зубчатом колесе с эвольвентным зацеплением

Анимация построения эвольвенты окружности — эвольвента как разматывающаяся нить

То есть эвольвента — кривая, нормаль в каждой точке которой есть касательная к исходной кривой, иными словами, эвольвента — ортогональная траектория касательных к исходной кривой^[2].

Эвольвента плоской кривой также может быть определена следующим образом:

• эвольвента — траектория конца натянутой нити, которая либо наматывается на исходную кривую, либо разматывается с неё (этим объясняется другое название эвольвенты «развёртка»)^[2].

Последнее определение эвольвенты проясняет следующие свойства эвольвенты^[2]:

• касательная в произвольной точке исходной кривой есть нормаль в соответствующей точке эвольвенты;
• всякая ортогональная траектория касательных к исходной кривой есть эвольвента;
• разность радиусов кривизны в двух точках эвольвенты равна длине дуги между соответствующими точками исходной кривой.

У каждой кривой бесконечно много эвольвент^[2], которые параллельны друг другу^[3].

Уравнения эвольвенты

Если линия ${\displaystyle L}$ задана уравнением ${\displaystyle {\bar {r}}={\bar {r}}(s)}$ (где ${\displaystyle s}$ — натуральный параметр), то уравнение её эвольвенты имеет вид

${\displaystyle {\bar {\psi }}={\bar {r}}+(\alpha -s){\dot {\bar {r}}}}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ — произвольный параметр^[1][4].

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

${\displaystyle X=x-{\frac {x'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

${\displaystyle Y=y-{\frac {y'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

Примеры эвольвенты

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её параметрические уравнения имеют следующий вид:

${\displaystyle x=r(\cos(t)+t\sin(t)),}$

${\displaystyle y=r(\sin(t)-t\cos(t)),}$

на комплексной плоскости уравнения упрощаются^[5]:

${\displaystyle z=r(1-it)e^{it},}$

где ${\displaystyle t}$ — угол, a ${\displaystyle r}$ — радиус

Эвольвента цепной линии

Применения

• В технике эвольвенту окружности используют:
• как профиль зуба для колёс зубчатой передачи с эвольвентным зацеплением;
• в спиральных вакуумных насосах.

См. также

• Каустика