Распределение Колмогорова

Распределе́ние Колмого́рова в теории вероятностей — это абсолютно непрерывное распределение, широко используемое в математической статистике для оценки распределения выборки.

Распределение Колмогорова
Носитель	${\displaystyle [0,\infty )}$
Функция распределения	${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\exp(-2k^{2}x^{2}),\,x>0}$

Определение

Случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет распределение Колмогорова, если её функция распределения ${\displaystyle F_{X}}$ имеет вид:

${\displaystyle F_{X}(x)=K(x)={\begin{cases}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}e^{-2k^{2}x^{2}},&x>0;\\0,&x\leqslant 0.\end{cases}}}$

Обозначается: ${\displaystyle X\sim \mathrm {K} }$.

Связь с другими объектами теории вероятностей

• Случайная величина

${\displaystyle X=\sup _{t\in [0,1]}|B(t)|,}$

где ${\displaystyle B(t)}$ — броуновский мост, имеет распределение Колмогорова.

• Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — выборка объёма ${\displaystyle n}$, порождённая случайной величиной с непрерывной функцией распределения ${\displaystyle F(x)}$. Пусть ${\displaystyle F_{n}(x)}$ — выборочная функция распределения. Если ввести обозначение

${\displaystyle D_{n}=\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }|F_{n}(x)-F(x)|,}$ то выполняется

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P({\sqrt {n}}D_{n}\leqslant t)=K(t)}$

Утверждение носит название теоремы Колмогорова. Его можно использовать для нахождения доверительного интервала функции распределения ${\displaystyle F(x)}$.

См. также

• Критерий согласия Колмогорова;
• Теорема Колмогорова;
• Колмогоров, Андрей Николаевич.

Литература

• J. Durbin, Regional Conf. Series on Applied Math. 9 (SIAM, 1973)).